1. Числені геометричні софізми засновано на принципі прихованого перерозподілу площ прямолінійних плоских фігур. Як ось, наприклад:
а) Розріжте зображену фігуру по діагоналі і зсуньте нижню частину прямокутника вздовж розрізу вниз і вліво на відстань між сусідніми лініями. А тепер порахуйте лінії. Виявляється одна з них зникла!
Відповіді і розв'язання.
1. Неправильна побудова. Точка C не належить колу.
2. Допущено почленне ділення рівності (2) на вираз AE * DE - BE * CE, який згідно з рівністю (1) дорівнює 0.
3. У ланцюгу правильних висловлень допущено одну помилку зумовлену замаскованим виконанням неможливої дії - ділення на 0. Із пропорції AE * AC = DH * FH (для сторін подібних трикутників ACE і HFD випливає, що AE * FH - AC * HD = 0).
4. Оскільки в чотирикутнику ABCD за умовою ÐA + ÐC = 1800 і вершини A, B і D лежать на колі, то і четверта вершина C лежить на тому ж колі. Отже точки E і C мають збігатися трикутник BCE не може існувати. Він вироджується в сторону чотирикутника ABCD.
5. Помилка поширення властивості певного виду на весь рід допущена при переході від рівності (1) до рівності (2). Подане твердження справджується тільки на множині цілих додатніх чисел і не є істинним на числових множинах, які містять від’ємні числа, а саме цей випадок маємо при переході від (1) до (2).
6. Допущено логічну помилку "не випливає", яка полягає в порушенні закону достатньої підстави - в процесі доведення тези висуваються аргументи, самі по собі правильні, але такі , що з них не випливає висловлювання, істинність якого потрібно довести. З рівності AD = AB + BD випливає, що AB= = AD - BD, але зовсім не випливає, що AB2 = AD2 - BD2. Мало б бути: AB2 = AD2 - 2AD*BD +BD2.
7. Отримані 9 ліній стали трохи довше, вони ніби увібрали в себе ту лінію, що зникла.
Зорові помилки й парадокси використав у своїх картинах відомий голландський художник Мауріц Корнеліус Ешер (1898 - 1972). Своїми малюнках він глузує з певних особливостей нашого сприймання тривимірного світу, створюючи насправді вражаючи, просто дивовижні ефекти.
ЛОГІКА
1. Купа (парадокс Евбуліда із Мілета, 1V ст. До н.е.).
Одне зерно купи не становить, додавши ще зернину, купи знову не матимемо. Як же дістати купу, додаючи кожного разу по одному зерну, з яких ні одне не становить купи?
2. Софізм Еватла.
Еватл брав уроки софістики у давньогрецького софіста Протагора (бл. 481 - 411 до р. Х.). З цію умовою, що гонорар він сплатить тільки в тому випадку, коли виграє свій перший судовий процес. Але після навчання Еватл не взявся вести жодного судового процесу і тому вважав, що може не платити гонорару Протагорові. Вчитель, погрожуючи подати на Еватла в суд, сказав:
- Незалежно від того, присудять судді платити мені гонорар, чи не присудять, ти його обов’язково сплатиш. У першому випадку ти сплатиш за вироком суду, в другому - за нашою домовленістю. На це Еватл, навчений Протагором мистецтву софістики, відповів: - Ні в тому, ні в іношому випадку, гонорару я не буду платити. Якщо мені присудять платити, то я не заплачу відповідно до нашої домовленості, бо програю свій перший судовий процес, у другому випадку я не платитиму відповідно до вироку суду.
3. Цікавий софізм заримував один англійський поет (в рос. перекладі):
Их было десять чудаков, Тех спутников усталых,
Что в дверь решили постучать
Таверны “Славный малый”
Пусти, хозяин, ночевать,
Не будеш ты в убытке,
Нам только ночку переспать,
Промокли мы до нитки.
Хозяин тем гостям был рад,
Да вот беда некстати:
Лишь девять комнат у него
И девять лишь кроватей.
- Восьми гостям я предложу
Постели честь по чести,
А двум придется ночь проспать
В одной кровати вместе.
Лишь он сказал, и сразу крик,
От гнева красны лица:
Никто из всех десятерых
Не хочет потесниться.
Как охладить страстей тех пыл,
Умерить не волненья?
Но старый плут хозяин был
И разрешил сомненья.
Двух первых путников пока,
Чтоб не судили строго,
Просил пройти он в номер “А”
И подождать немного.
Спал трейтий в “Б”, четвертый в “В”,
В “Г” спал всю ночь наш пятый,
В “Д”, “Е”, “Ж”, “З” нашли ночлег
С шестого по девятый.
Потом, вернувшись снова в “А”,
Где ждали его двое,
Он ключ от “И” вручить был рад
Десятому герою.
Хоть много лет с тех пор прошло,
Не ясно никому,
Как смог хозяин разместить
Гостей по одному.
Иль арифметика стара,
Иль чудо перед нами,
Понять, что, как и почему,
Вы постарайтесь сами.
Відповіді і доведення
1. Проблема виникає при спробі знайти відповідь на питання, коли “не купа” переходить в “купу”. Тобто чи існує фіксована кількість елементів коли здійснюється названий перехід. У парадоксі, по суті, використано повну математичну індукцію, яку не можна застосовувати понять, обсяг яких не чітко визначено, а саме таким і є поняття “купи”. Крім того, в парадоксі ігнорується також об’єктивна закономірність будь-якого явища, в процесі перебігу якого кількісні зміни на певному етапі зумовлюють якісні зміни. При цьому нова якість (“купа”) зовсім не відгороджена від старої якості (“не купи”).
2. З погляду традицій ної логіки софістичний висновок виник внаслідок порушення закону тотожності. Одну й ту ж домовленість Еватл розглядав у різних відношеннях. У першому випадку Еватл мав виступати на суді юристом, який програє свій перший судовий процес, у другому випадку - відповідачем, якого суд виправдав.
Усе це був невеликий острівець галактики софістично-парадоксальних конструкцій думки, автори яких - невтомні шукачі істини або випадкові мадрівники в логічних лабірінтах. Вже багато віків математичні софізми бентежать людську думку, прокладають шлях до істини в хащах помилок, дають поштовх творчості, заманюють несподіванками, вчать логічному мисленню, привчають до красоти бездоганних доведень.
Використана література.
1. А. Г. Конфорович “Математичні софізми і парадокси” К.: Радянська школа, 1983.
2. Б. А. Кордемский “Математическая смекалка” М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы (стор. 351 - 355).
3. Математика после уроков. Пособие для учителей. М.: Просвещение, 1971 (стор. 151 - 153).
4. Л. М. Лоповок “Збірник математичних задач логічного характеру” К.: Радянська школа, 1972 (стор. 80 - 84).
5. М. Гарднер “Математические игрі и развлечения” (глава 13).
6. Толковый словарь математических терминов под редакцией В. А. Диткина М.: Просвещение 1965 (стор. 423).
7. Энциклопедический словарь юного математика. М.: Педагогика, 1985 (стор. 276 - 278).