Перш за все відмітимо, що в усіх табличних інтегралах підінтегральна функція є певною функцією, аргумент якої співпадає із змінною інтегрування.
Розглянемо, наприклад, інтеграл ∫sin(x2+l)dx. В цьому випадку аргументом основної елементарної функції сінус буде u=х2+1, а змінна інтегрування — х, тому при знаходженні цього інтеграла не можна використати табличну формулу
∫sin udu=- cos +С
Заданий невизначений інтеграл ∫f(x)dx можна знайти, якщо якимось чином вдається звести його до одного із табличних інтегралів.
Найбільш часто для знаходження заданого невизначеного інтеграла використовують методи: безпосереднього інтегрування, заміни змінної (підстановки), інтегрування частинами, а також знаходження заданого інтеграла за допомогою довідника.
Ознайомимось з основними методами інтегрування.
Метод безпосереднього інтегрування
Цей метод базується на рівності сталі і застосовується у тих випадках, коли підінтегрільна функція f має вигляд однієї із підінтегральних функцій табличних інтегралів, але її аргумент відрізняється від змінної інтегрування постійном доданком або постійним множником або постійним множником та постійним доданком.
Приклад. Знайти інтеграли
а) b) с)
Розв’язування.
а)
У цьому випадку змінна інтегрування х відрізняється від аргумента степеневої функції u8 = (ч + 3)8 на постійний доданок 3;
b)
У цьому випадку аргумент функції косінус відрізняється від змінної інтегрування х на множник ½
с)
У цьому випадку змінна інтегрування х відрізняється від аргументи степеневої функції u2/5 = (3x – 7)2/5 постійним множником 3 та постійним доданком (– 7).
Метод підстановки (заміни змінної)
Цей метод містить два прийоми.
a) Якщо для знаходження заданого інтеграла ∫f(x)dx зробити підстановку x = φ(t), тоді має місце рівність
Після знаходження останнього інтеграла треба повернутись до початкової змінної інтегрування х. Для застосування цього прийому треба; щоб функція х - φ (t) мала обернену t = ψ(х).
Приклад. Знайти інтеграл
Розв'язування. Зробимо підстановку х = 5sint, тоді
Отже, одержимо
Із рівності х = 5sin t одержимо t = arcsin (х/5);
Отже,
b) Якщо зробити заміну змінної, тобто t = φ (х) тоді має місце
рівність
Після знаходження останнього інтеграли треба повернутись до змінної х, використовуючи рівність t = φ (х).
Приклад. Знайти
Розв’язування. Нехай тоді
Тому
Метод інтегрування частинами
Цей метод застосовується тоді, коли під інтегралом є добуток функцій, причому хоча би одна з них є трансцендентною (не степеневою).
Нехай u та v деякі функції х, тобто u = u(x), v = v(x).
Розглянемо диференціал добутку цих функцій.
d(uv) = udv + vdu
Інтегруючи обидві частини рівності, одержимо
Звідси, враховуючи властивість невизначеного інтеграла, маємо
Отже, одержали формулу
яку називають формулою інтегрування частинами.
Ця формула дозволяє знаходження інтеграла звести до знаходження інтеграла . При вдалому обранні u то dv інтеграл може бути табличним або простішим ніж заданий інтеграл
Приклад. Знайти
Розв'язування. Нехай u = Inx, dv = dx. Тоді v = x
За формулою інтегрування частинами (4) одержимо
Література:
Барковський В.В., Барковська Н.В. Вища математика для економістів – Київ: ЦУЛ, 2002 – 400 с. Серія: Математичні науки.