Пошукова робота на тему:
Числові ряди. Збіжність і розбіжність. Сума ряду. Дії над збіжними рядами. Необхідна ознака збіжності. Гармонічний ряд.
План
ЧИСЛОВІ РЯДИ
1 Ряд. Сума ряду
Означення 1. Нехай задана нескінченна послідовність чисел
Вираз
(13.1)
називається числовим рядом. При цьому числа називаються членами ряду.
Означення 2. Сума скінченого числа перших членів ряду називається ою частинною сумою ряду:
. (13.2)
Означення 3. Якщо існує скінчена границя
(13.3)
то її називають сумою ряду (13.1) і говорять, що ряд збігається.
Якщо не існує або дорівнює нескінченності, то говорять, що ряд (13.1) розбігається і суми не має.
Приклад 1. Розглянемо ряд
Це – геометрична прогресія із першим членом і знаменником ().
Якщо то сума перших її членів обчислюється за формулою
.
Тоді
При одержимо ряд , який розбігається
При одержимо ряд .
В цьому випадку
Отже, границі немає і ряд в цьому випадку розбігається.
Таким чином, геометрична прогресія збігається тільки тоді, коли її знаменник за абсолютною величиною менший одиниці.
Приклад 2. Знайти суму ряду
Р о з в ‘ я з о к. Розкладемо дріб на простіші дроби
і
Частинна сума ряду
За означенням суми ряду
Теорема 1. На збіжність числового ряду не впливає відкидання або додавання скінченого числа його членів.
Д о в е д е н н я. Нехай сума перших членів ряду (1.1), сума відкинутих , сума членів ряду, що входять в суму і не входять в . Тоді маємо:
де постійне число, що не залежить від Із останнього співвідношення випливає існування скінченої границі при існуванні скінченої границі коли і, навпаки. А це доводить вірність даної теореми.
Теорема 2. Якщо ряд (13.1) збігається і його сума дорівнює то ряд
де яке-небудь постійне число, також збігається і його сума дорівнює
Д о в е д е н н я. Очевидно, що частинна сума даного ряду дорівнює і Теорема доведена.
Теорема 3. Якщо ряди
збігаються і їх суми, відповідно, дорівнюють і , то ряди
також збігаються і їх суми будуть
Д о в е д е н н я. Частинні суми даних рядів мають вигляд
Тоді і
що і доводить дану теорему.
2. Необхідна ознака збіжності ряду
При дослідженні рядів одним із головних питань є питання про те, чи збігається даний числовий ряд. Нижче будуть розглянуті достатні ознаки збіжності рядів. Тут ми розглянемо необхідну ознаку збіжності ряду, тобто встановимо умову, при невиконанні якої ряд розбігається.
Теорема. Якщо ряд (13.1) збігається, то його ий член прямує до нуля при
Д о в е д е н н я. Нехай ряд (13.1) збігається, тобто має місце рівність
де сума ряду; але тоді має місце також рівність
Віднімаючи почленно із першої рівності другу, одержимо:
Але
Отже
що й потрібно було довести.
Наслідок. Якщо , то числовий ряд розбігається.
Приклад. Ряд
розбігається, оскільки
Ряд
називається гармонічним рядом. Цей ряд розбігається, хоча й
Нижче буде показано, що ряди збігаються при і розбігаються при