В механики Эйлер впервые изложил в широком объёме динамику точки при помощи нового математического анализа. В первом томе этого сочинения рассмотрено свободное движение точки под действием различных сил как в пустоте, так и в сопротивляющейся среде; во втором томе - движение точки по данной линии или по данной поверхности. При этом Эйлер не только упростил приёмы решения уже известных проблем, но и решил многие новые задачи, открыл пути к дальнейшим исследованиям. В частности, большое значение для развития небесной механики имела глава о движении точки под действием центральных сил. В 1744 он впервые конкретно сформулировал механический принцип наименьшего действия и показал его впервые применения. В "Теории движения твёрдых тел" Эйлер разработал кинематику и динамику твёрдого тела и дал уравнение его вращения вокруг неподвижной точки, положив начало теории гироскопов. В своей теории корабля Эйлер внёс ценный вклад в теорию устойчивости. Всё это подготовило почву для создания системы аналитической механики Лангранжа. Велики были открытия Эйлера и в небесной механике. Соревнуясь с А.Клеро, он значительно продвинул теорию движения Луны. Метод изложенный в первой монографии Эйлера по этому вопросу (1753), был использован Т.Майнером для вычисления лунных таблиц, долгое время служивших для определения долготы в открытом море; высокие достоинства предложенного Эйлером другого метода определения лунной орбиты (1772) получили долгожданную оценку лишь в конце 19 века. Мемуары 1757-71 внесли большой вклад в механику сплошных сред (основные уравнения движения идеальной жидкости в форме Эйлера и в т.н. переменных Лангранжа, колебания газа в трубах и т.д.). Обширный цикл работ, начатый в 1748 году, Эйлер посвятил математической физике: задачам о колебании струн, пластинок, мембраны и др. Все эти исследования стимулировали развитие теории дифференциальных уравнений, приближённых методов анализа, специальных функций, дифференциальной геометрии и т. д. Многие чисто математические открытия Эйлера содержатся именно в этих его работах.
Главным делом Эйлера, как математика, явилась разработка математического анализа, самые рамки которого он значительно расширил по сравнению со своими предшественниками. Он заложил основы нескольких математических дисциплин, которые только в зачаточном виде имелись или вовсе отсутствовали в исчислении бесконечных малых И.Ньютона, Г.Лейбница и Я. и И. Бернулли. Так, Эйлер первый систематически ввёл в рассмотрение функции комплексного аргумента (Введение в анализ бесконечных" ,Т.1). В частности, он вывел формулы, связывающие тригонометрические функции с показательной (см. прилож. №1), следует заметить, что эта связь была ранее упомянута без доказательства в одной работе Р.Котеса. Работы Эйлера в этом направлении, выяснение им некоторых свойств аналитических функций (уравнение Д`Аламбера-Эйлера, связь с камфорными отображениями) и, наконец, применение мнимых величин к вычислению интегралов положили начало теории функций комплексного переменного.
Эйлер явился создателем вариационного исчисления, изложенного в работе "Метод нахождения кривых линий, обладающих точками максимума, либо минимума..." (1744). Несколько позднее Ж. Лангранж существенно переработал и усовершенствовал метод Эйлера, ввёл понятие и знак вариации. После чего Эйлер оригинально изложил вариационное исчисление в ряде статей "Интегрального исчисления". Метод, с помощью которого Эйлер в 1744 году вывел необходимое условие экстремума функционала (см. приложение 2), явился прообразом прямых методов вариационного исчисления 20 века; позднее Эйлер ввёл в рассмотрение поле экстремалей.
Систематически развивая новые приёмы интегрирования дифференциальных уравнений, введя ряд основных понятий в этой области, Эйлер создал как самостоятельную дисциплину теорию обыкновенных дифференциальных уравнений и заложил основы теории уравнений с частными производными. Здесь ему принадлежит огромное число открытий: классический общий способ решения линейных уравнений с постоянными коэффициентами, метод вариации произвольных постоянных, выяснение основных свойств уравнения Риккати, интегрирование линейных уравнений с переменными коэффициентами (в частности, т.н. уравнения Бесселя) с помощью бесконечных рядов, критерии особых решений, учение об интегрирующем множителе, различные приближённые методы и ряд приёмов решения уравнений с частными производными. Значительную часть этих результатов Эйлер собрал в своём "Интегральном исчислении".
Эйлер обогатил также дифференциальное и интегральное исчисление в узком смысле слова. Достаточно назвать широкое развитие учения о замене переменных, теорему об однородных функциях, см. приложение №3, понятие двойного интеграла (известное также Ж.Лангранжу) и вычисление многих специальных интегралов (см. приложение №4). В теорию рядов Эйлер внёс новые идеи, которые показывают, что он умел видеть на многие десятилетия вперёд. Примером может служить его трактовка проблемы сходимости рядов. В "Дифференциальном исчислении" Эйлер высказал и подкрепил примерами убеждение в целесообразности применения расходящихся рядов и предложил методы обобщенного суммирования рядов. При тогдашнем состоянии науки он не мог выяснить и даже вполне конкретно поставить вопрос об условиях, в которых законны его определения и методы; он не знал также всей важности построения теории сходимости рядов. Тем не менее в своих воззрениях и в методах суммирования он предвосхищал идеи современной строгой теории расходящихся рядов, созданной на рубеже 19 и 20 вв. Кроме того, Эйлер получил в теории рядов множество конкретных результатов. Он открыл т.н. формулу суммирования Эйлера - Маклорена, предложил преобразование рядов, носящее его имя, определил сумму громадного количества рядов, ввёл в математику новые важные типы рядов (напр., тригонометрические ряды, т.н. ряды Ламберта). Сюда же примыкают исследования Эйлера по теме теории непрерывных дробей и др. бесконечных процессов.
Эйлер является основоположником теории специальных функций. Он первым начал рассматривать синус и косинус как функции, а не как отрезки в круге. Им получены почти все классические разложения элементарных функций в бесконечные ряды и произведения. В его трудах создана теория гамма функций. Он исследовал свойства элиптичных интегралов, гиперболических и цилиндрических функций, дзета-функции, некоторых тэта-функций, интегрального логарифма и важных классов специальных многочленов.
По замечанию П..Чебышева, Эйлер положил начало всем изысканиям, составляющим общую часть теории чисел, к которой относится свыше 100 мемуаров Эйлера. Так, Эйлер доказал ряд утверждений, высказанных П.Ферма, разработал основы теории степенных вычетов и теории квадратичных форм, обнаружил (но не доказал) квадратичный закон взаимности и исследовал ряд задач диофантова анализа. В работах о разбиении чисел на слагаемые и по теории простых чисел Эйлер впервые использовал методы анализа, явившись тем самым создателем аналитической теории чисел. В частности, он ввёл знаменитую дзева - функцию и доказал т. н. тождество Эйлера, связывающее простые числа со всеми натуральными.
Великие заслуги Эйлера и в других областях математики. В алгебре ему принадлежат работы о решении в радикалах уравнений высшей степеней и об уравнениях с двумя неизвестными, а также т.н. тождество Эйлера о четырёх квадратах. Эйлер значительно продвинул аналитическую геометрию, особенно учение о поверхностях 2-го порядка. В дифференциальной геометрии он детально исследовал свойства геодезических линий, впервые применил натуральные уравнения кривых, а главное, заложил основы теории поверхностей. Он ввёл понятие главных направлений в точке, поверхности, доказал их ортогональность, вывел формулу для кривизны любого нормального сечения, начал изучение развёртывающихся поверхностей. Эйлер занимался и отдельными вопросами топологии и, например, доказал важную теорему о выпуклых многогранниках (встречающуюся в рукописях Р.Декарта без доказательства).
Эйлера - математика нередко характеризуют как гениального "вычислителя". Действительно, он был непревзойдённым мастером формальных выкладок и преобразований, в его трудах многие математические формулы и символика впервые получают современный вид (например, ему принадлежат обозначения для e и ). Однако Эйлер был не только исключительной силы "вычислителем". Он внёс в науку ряд глубоких идей. Даже в тех вопросах, где он, как и другие математики 18 века, стоял на шаткой почве, его рассуждения, как правило, могут быть строго обоснованны и служат образцом глубины проникновения в предмет исследования.
По выражению П. Лапласса, Эйлер явился общим учителем математиков 2-й половины 18 века. От его работ непосредственно отправлялись в разнообразных исследованиях П.Лаплас, Ж.Лагранж, Г.Монж, А.Лежандр, К.Гаусс, позднее О.Кошл, М.В.Остроградский, П.Л.Чебышев и др. Русские математики высоко ценили творчество Эйлера, а деятели чебышевской школы видели в Эйлере своего идейного предшественника в его постоянном чувстве конкретности, в интересе к конкретным трудным задачам, требующим развития новых методов, в стремлении получать решения задач в форме законченных алгоритмов, позволяющих находить ответ с любой требуемой степенью точности.
Список литературы
"Математическая энцеклопедия".