Леонард Эйлер родился в апреле 1707 года в городе Базель (Швейцария) в семье небогатого пастора Пауля Эйлера. Образование получил сначала у отца (который в молодости занимался математикой под руководством Я.Бернулли), затем поступил (осенью 1720 года) в Базельский университет, где в 1724 году произнёс речь, посвящённую сравнению философии Р. Декарта и И.Ньютона, и был удостоен степени магистра исскуств. С конца 1723 года Эйлер по настоянию отца стал изучать богословие, но вскоре целиком отдался изучению любимой математики. В Базельском университете Эйлер слушал лекции по математике И.Бернулли, но особенное значение имели беседы, проводимые с ним И.Бернулли по субботам в течение нескольких лет. В 1726-27 годах Эйлер выступил в журнале "Acta eruditorum" с первыми научными работами, посвящёнными актуальным задачам об изохроне в сопротивляющейся среде и о траекториях. Тогда же он принял участие в конкурсе работ на тему о наилучшем расположении матч на корабле; сочинение Эйлера было опубликовано в 1728 году.
В 1725 году два друга Эйлера, сыновья его учителя - Даниил и Николай Бернулли, не найдя применения своим силам в Базеле, приняли приглашение только что организованной Академии наук в Петербурге. В конце 1726 года по рекомендации и братьев Бернулли его пригласили на одно из свободных мест в Петербургской Академии наук. Он оставил Швейцарию и в мае 1727 года приехал в Петербург.
В Петербурге (где Эйлер жил в 1727 - 41 и с 1766 до конца жизни) Эйлер нашёл весьма благоприятные условия для научной деятельности: материальное обеспечение, широкую возможность публикации трудов, круг учёных с общими интересами в лице Д.Бернулли, Х.Гольдбаха, Я.Германа и др. Эйлер сразу приступил к занятиям математикой и механикой. Его статьи на латинском языке появились в органе академии - "Commentarii Academiae imp. scientiarum Petropolitanae" начиная со второго тома за 1727(1729) и публиковались в этом журнале (несколько раз менявшем своё название без перерыва до самой его смерти и ещё десятилетия спустя. За 14 лет первого петербургского периода жизни Эйлер подготовил к печати около 80 трудов и опубликовал свыше 50; в последствии его научная продукция значительно выросла. Эйлер участвовал во многих направления деятельности академии. Он читал лекции студентам академического университета, написал общедоступное "Руководство к арифметике", участвовал в различных технических экспертизах. Многие годы он успешно работал над составлением карт России. По специальному поручению академии Эйлер подготовил к печати "Морскую науку" - фундаментальный труд по теории кораблестроения и кораблевождения. Позднее на основе этой книги он написал для учащихся морских школ сокращённое руководство на французском языке (1773), русский перевод которого опубликовал (1778) его ученик М.Е.Головин.
В Петербурге Эйлер изучил русский язык. В 1733 году он женися на Е.Гзелль - дочери академического живописца. В Петербурге же родились два его сына: математик и астроном Иоганн Альбрехт (1734-1800) и врач Карл (1740-90). Третий сын Кристоф (1743-1808), участник астрономической экспедиции академии 1769 года, служа в армии достиг чина генерал - лейтенанта и был директором оружейного завода в Сестрорецке.
Тревожное и неустойчивое положение в период регентства Анны Леопольдовны заставило Эйлера принять в 1741 году предложение прусского короля Фридриха ll переехать в Берлин. В Берлинской академии наук занял пост директора класса математики и члена правления, а после смерти её первого президента П.Мопертюи несколько лет (1759 г.) фактически руководил академией. За 25 лет жизни в Берлине он полностью или вчерне подготовил около 300 работ, среди них ряд больших монографий. В 40-50-е гг. он участвовал в нескольких научных и философских дискуссиях. С позиции картезинского механического материализма, который сочетался у него с глубокой личной религиозностью, Эйлер выступал против учения о монодах и предустановленной гармонии Г.Лейбница и Х.Вольфа. С Ж.Д.Аламбером он вёл спор о свойствах логарифмов отрицательных и мнимых чисел, с Ж.Д.Аламбером и Д.Бернулли - о природе решений дифференциального уравнения колеблющейся струны. Этот спор, в котором приняли участие и другие крупнейшие математики 2-й половины 18 века, имел большое значение в развитие математической физики, учения о тригонометрических рядах и в обобщении понятия функции.
Эйлер продолжал заниматься и чисто прикладными задачами. Так, он перевёл с английского на немецкий язык "Новые принципы артиллерии" Б.Робинса (1745 г.) и в обширных дополнениях к этой книги и одном мемуары (1753 г.) существенно развил учение о движении круглого снаряда в воздухе. Эйлер консультировал работы по проведению канала между Хавелем и Одером по водоснабжению дворца Сан-Суси, по организации лотерей. Изучая действие сегнерова колеса, он заложил основы теории турбин. Он внёс ценный вклад в оптическую технику, теоретически установив, что путём соединения двух линз различной преломляемости можно избежать хроматической аберрации, мешавшей дальнейшему усилению телескопов - рефракторов; первый ахроматический объектив по принципу Эйлера построил в 1758 году Дж. Долланд. Эйлер существенно усовершенствовал также волшебный фонарь. Он занимался и вопросами практической механики. Изыскивая целесообразную форму зубчатых передач, изучал устройство ветряных мельниц и т.д. Ценный вклад внёс Эйлер и в изучение о сопротивлении материалов, где его имя, например, носит известная формула для критической нагрузки колонн.
Живя в Берлине, Эйлер не переставал интенсивно работать для Петербургской АН, сохраняя звание её почётного члена и получая пенсию. Он вёл с Петербургом обширную научную переписку, в частности переписывался с М.В.Ломоносовым, которого высоко ценил. Эйлер редактировал математический отдел русского академического научного органа, где опубликовал за это время почти столько же статей, сколько в "Мемуарах" Берлинской АН. Он деятельно участвовал в подготовке русских математиков; в Берлин командировались для занятий под его руководством будущие академики С.К.Котельников, С. Я. Румовский и М.Софронов. Большую помощь Эйлер оказывал Петербургской академии наук, приобретая для неё научную литературу и оборудование, ведя переговоры с кандидатами на должности в академии и т.д.
В бытность Эйлера в Берлине несколько раз вставал вопрос о его возвращении в Россию. Трения Эйлера с Королём Фридрихом ll связанные с расхождениями в деловых вопросах работы академии. Но более всего с глубоким антагонизмом во многих взглядах и вкусах короля и учёного с мировым именем. Но Эйлер настоял на своём и 17 июля 1766 года вместе с семьёй вернулся в Петербург.
Несмотря на преклонный возраст и постигшую его почти полную слепоту ( правый глаз Эйлер потерял в 1738 г., а левый почти не видел с осени 1766), работоспособность его не снизилась. Благодаря сохранившейся силе ума и феноменальной памяти, а также помощи способных молодых секретарей, его учеников - И.А.Эйлера, В. Л. Крафта, А. И. Лекселя, Н. И. Фусса, М. Е. Галовина, Эйлер смог до конца жизни по прежнему продуктивно работать. За 17 лет вторичного пребывания в Петербурге им было подготовлено около 400 работ, среди них несколько больших книг. За один 1777 год он вместе с Н. И. Фуссовым подготовил почти 100 статей. Эйлер продолжал участвовать и в организационной работе в академии. В 1776 году он был одним из экспертов проекта одноарочного моста через Неву, предложенного И.П.Кулибиным, и из всей комиссии один оказал широкую поддержку выдающемуся русскому изобретателю.
Заслуги Эйлера как крупнейшего учёного и организатора научных исследований получили высокую оценку ещё при его жизни. Помимо Петербургской и Берлинской академии, он состоял членом крупнейших научных обществ: Парижской АН, Лондонского королевского общества и т.д.В различных научных конкурсах работы Эйлер неоднократно удостаивался премий.
Эйлер скончался в Петербурге от кровоизлияния в мозг и был похоронен на смоленском кладбище. В 1837 году Петербургская АН воздвигла на его могиле памятник; в 1956 году его прах был перенесён в ленинградский некрополь.
Одной из отличительных сторон творчества Эйлера является его исключительная продуктивность. Только при жизни Эйлера было опубликовано около 550 его книг и статей (список трудов Эйлера содержит примерно 850 названий). В 1909 году Швейцарское естественнонаучное общество приступило к изданию полного собрания сочинений Эйлера в трёх сериях: математической, механико - астрономической и физической. К настоящему времени из печати вышло 67 томов и готовится ещё 5. Большой интерес представляет и колоссальная научная переписка Эйлера (около 3000 писем), до сих пор опубликованная только частично. С 1975 года начато в рамках собрания сочинений Эйлера полное издание его научной переписки, которое составит четвёртую серию, пока что изданы 3 тома из 8 намеченных, впрочем часть научных писем опубликована ранее в других изданиях.
Необыкновенно широк был круг занятий Эйлера, охвативших все отделы современной ему математике и механики, теорию упругости, математическую физику, оптику, теорию музыки, теорию машин, баллистику, морскую науку и т.д. Около 3/5 работ Эйлера относится к математике, остальные 2/5 преимущественно к её приложениям. В этом соотношении нашла выражение тесная связь математических исследований Эйлера с практикой. Математику он разрабатывал в значительной части как аппарат естествознания, особенно механики и техники. Но Эйлер прежде всего был математиком. Часто черпая задачи из практики, он развивал математику не от случая к случаю, а как органическое целое, части которого находятся в тесной и глубокой взаимосвязи. Свои результаты и результаты, полученные другими, Эйлер систематизировал в ряде классических монографий, написанных с поразительной ясностью и снабженных ценными примерами. Таковы, например, "Механика, или наука о движении, изложенная аналитически" (1748), "Дифференциальное исчисление" (1765), "Теория движения твёрдого тела" (1765), "Универсальная арифметика" (1768-69), выдержавшая около 30 изданий на 6 языках, "Интегральное исчисление" (1768 -70) и др. Особенностью этих руководств является постоянная забота Эйлера раскрыть пути, ведущие к излагаемым результатам; благодаря этому многие книги Эйлера и сейчас интересны не только для специалистов, но и для учащейся молодёжи. В 18 веке, а от части и в 19 веке огромную популярность приобрели общедоступные "Письма о разных физических и философических материалах писанных к некоторой немецкой принцессе...", которые выдержали свыше 40 изданий на 10 языках. Большая часть содержания монографий Эйлера вошла затем в учебные руководства для высшей и отчасти для средней школы. Невозможно перечислить все доныне употребительные теоремы и методы Эйлера, из которых только немногие фигурируют в литературе пол его именем.