Численная модель эволюции плавающих на сферической мантии и взаимодействующих континентов (стр. 2 из 6)

Первые три свойства мантийной конвекции и их проявления в глобальной геодинамике изучаются специалистами по наукам о Земле уже в течение нескольких десятилетий. Результатом этого, в частности, явилось создание кинематической теории тектоники литосферных плит и теории мантийной конвекции с фазовыми переходами. В настоящее время изучены модели как расслоенной конвекции [Добрецов, Кирдяшкин, 1994; Allegre, 1982; Allegre et al., 1983; Anderson, 1981, 1982; DePaolo, 1980, 1981; DePaolo and Wasserburg, 1976, 1979; Jacobsen and Wasserburg, 1979, 1981; Jeanloz and Knittle, 1989; O'Nions and Oxburg, 1983; O'Nions et al., 1979], так и общемантийной конвекции [Davies, 1974, 1979, 1984; Grand, 1987, 1994; Grand et al., 1997; Hoffmann and White, 1982; Jackson, 1998; Jordan, 1977; van der Hilst, 1995; van der Hilst et al., 1991, 1997]. Построены детальные численные модели современной Земли [Becker et al., 1999; Brunet and Machtel, 1998; Bunge et al., 1997; Kellogg et al., 1999; Machetel and Weber, 1991; Solheim and Peltier, 1994; Steinbach et al., 1993; Tackley, 1996; Tackley et al., 1994]. Предложены различные гипотетические геохимичесие модели [Tackley, 2000] для обьяснения природы наблюдаемых различных геохимических резервуаров.

В последнее время успешно ведется построение полной теории океанической литосферы, в основном работами Тэкли [Tackley, 2000], Гурниса с соавторами [Zhong et al., 1998]. В этой теории реологические свойства вещества литосферы включаются в уравнения мантийной конвекции. Поэтому не только изгиб и погружение океанической литосферы, но ее раскол на жесткие плиты не задается заранее, а получается самосогласованно как результат решения уравнений.

Изучение мантийной конвекции с учетом континентов сначала проводилось для неподвижных континентов [Lowman and Jarvis, 1995, 1996; Nakanuki et al., 1997; Trubitsyn and Bobrov, 1994; Trubitsyn and Fradkov, 1985]. Однако, как оказалось, основные принципиальные явления глобальной тектоники обусловлены именно движением континентов, нелинейно взаимодействующих с мантийными течениями. При моделировании процессов взаимодействия мантийной конвекции с движущимися континентами имеются два подхода. В работах [Gurnis, 1988; Gurnis and Zhong, 1991] рассчитывались двумерные модели, в которых континенты рассматривались как высоковязкие образования в мантии, движение которых ведется фактически с помощью маркеров, без использования явных уравнений для движения континентов. Можно сказать, что этот подход рассматривает мантийную конвекцию с плавающими континентами непосредственно как термо-композиционную конвекцию. В работах [Trubitsyn and Rykov, 1995, 1998a, 1998b, 2000a; Trubitsyn et al., 1999] предложен иной подход и были разработаны основы теории мантийной конвекции с твердыми плавающими континентами. Уравнения мантийной конвекции были дополнены уравнениями Эйлера для поступательного движения и вращения твердых континентов, взаимодействующих с мантией и друг с другом. Теория мантийной конвекции с плавающими континентами [Trubitsyn, 2000b] рассматривает модель твердых плавающих континентов как первое приближение. В этой модели находится положение, скорости, распределение температуры внутри континентов и все силы, действующие со стороны мантии (на их погруженные в мантию поверхность), а также силы столкновения континентов. Поскольку величины деформации континентов много меньше их перемещения при движении, то эти деформации и напряжения уже внутри континентов можно рассчитывать уже в следующем приближении по любой другой реологической модели, но с уже известными внешними силами.

Теория мантийной конвекции с твердыми плавающими континентами основана на численных экспериментах, т.е. на численном решении системы уравнений переноса энергии, массы, импульса и момента импульса для системы мантия-континенты. В предыдущих работах авторов показано, что континенты не являются пассивными образованиями, но могут существенно влиять на эволюцию мантийной конвекции. Их можно рассматривать вмороженными в океаническую литосферу только на небольших интервалах геологического времени. Континентальная литосфера возникает и существует в течение миллиардов лет только потому, что плавучие континенты постоянно затягиваются на холодные нисходящие мантийные потоки. Поэтому континенальная литосфера все время оствается холодной, высоковязкой и прочной. Под неподвижным континентом благодаря эффекту теплоэкранирования мантия со временем (в течениее порядка 200-500 млн лет) неизбежно прогревается и возникают горячие восходящие потоки, стремящиеся расплавить и раздробить континентальную литосферу и кору.

В настоящей работе приводятся результаты длительного численного эксперимента для идеализированной модели с 12 континентами, плавающими на сферической мантии, с учетом их механического и теплового взаимодействия с мантией и между собой. Целью работы была проверка того, могут ли плавающие на сферической мантии континенты многократно объединяться и расходиться без привлечения каких-либо дополнительных усложняющих процессов.

2. Уравнения мантийной конвекции с плавающими континентами

2.1. Уравнения мантийной конвекции

Тепловая конвекция в вязкой мантии описывается распределением вектора конвективных скоростей V_i(x,y,z), распределением температуры T(x,y,z) и давления p(x,y,z). Эти неизвестные функции находятся из решения системы трех уравнений: уравнения переноса импульса, тепла и массы

(1)

(2)

(3)

где S_ij - девиаторный тензор вязких напряжений,

(4)

Ra - число Рэлея, равное

(5)

Уравнения (1-3) записаны в приближении Буссинеска в безразмерных переменных. За единицу измерения для длины принята толщина мантии D, для скорости D/k, для времени D²/k, для температуры T₀, для вязкости h₀, для давления и напряжений h₀k/D². Давление p отсчитано от его гидростатического распределения p(z), определяемого условием

p₀ = - r₀g.

2.2. Уравнения движения свободно плавающего континента

На континент действует сила тяжести, приложенная к центру тяжести, и силы взаимодействия с вязкой мантией, приложенные к элементам поверхности погруженной части континента. Под действием этих сил континент плавает в мантии, перемещаясь вдоль поверхности и вращаясь вокруг вертикальной оси. Так как давление и скорости мантийных течений меняются во времени и в пространстве, то в общем случае не равны нулю как вертикальная скорость центра тяжести континента w₀, так и скорости вращения континента w_x и w_y вокруг мгновенных горизонтальных осей x и y.

Континенты могут опускаться (когда они находятся над нисходящими мантийными потоками) вместе с поверхностью мантии и относительно ее и подниматься (в местах восходящих потоков). При этом величина опускания и подьема разных концов континента могут быть разными. В дальнейшем будем рассматривать только горизонтальные перемещения центра тяжести континента и вращение континента вокруг локальной вертикальной оси, пренебрегая всеми остальными малыми эффектами, полагая w₀=0 и w_x=w_y=0.

Поскольку сила тяжести уравновешана выталкивающея силой, то внешняя сила, действующая на континент сводится к силе вязкого сцепления с мантией, при этом давление p нужно считать отсчитанным от гидростатически равновесного распределения p₀(z).

Таким образом, для горизонтального движения и вращения вокруг мгновенной вертикальной оси твердого континента произвольной формы уравнения Эйлера сводятся к системе трех динамических уравнений и трех кинематических соотношений [Trubitsyn, 2000a, 2000b; Trubitsyn and Rykov, 1998a, 1998b]

(6)

(7)

(8)

(9)

где M - масса континента, I₃₃ - его момент инерции относительно вертикальной оси, x_c(t) и y_c(t) - координаты центра тяжести континента, j - угол поворота континента, d_ij - символ Кронеккера, равный 1 при i=j и равный 0 при ij,e_ijk - символ Леви-Чивита, равный нулю при совпадении любых двух индексов, равный 1 при четной транспозиции индексов по сравнению с 1, 2, 3 и равный - 1 - при нечетной транспозиции.

Из соотношений размерности следует, что величина инерциальных членов в левой части уравнений Эйлера для движения континентов (6-8), как и для уравнения переноса импулься в вязкой жидкости (1), имеет порядок kr/m

10^-23. Поэтому они могут быть положены равными нулю.