зно математика 2007 с ответами (стр. 4 из 4)

Знайдемо точки, у яких модуль обертається в нуль, тобто розв’яжемо рівняння

, звідки .

Якщо

, то .

Якщо

, то .

Побудуємо ескіз графіка вказаної функції.

Схема оцінювання

1. За правильно знайдене

учень одержує 1 бал.

2. Якщо учень правильно розкрив модуль на проміжку

, то він одержує 1 бал.

3. Якщо учень правильно розкрив модуль на проміжку

, то він одержує ще 1 бал.

4. За правильно побудований ескіз графіка вказаної функції учень одержує ще 1 бал.

Тобто за правильно розв’язане завдання учень одержує 4 бали.

38. Розв’яжіть нерівність

.

Правильна відповідь: при

;

при

;

при

.

Розв’язання

Визначимо область допустимих значень параметра а:

.

Дана нерівність еквівалентна наступній сукупності систем нерівностей:

Розв’яжемо спочатку першу систему.

Розглянемо нерівність

.

.

1. Якщо
   , то розв’язком першої нерівності даної системи буде
   . Тоді розв’язком нерівності
   буде
   при
   <
   <1. Тобто, розв’язок першої системи матиме вигляд
   при
   <
   <1.
2. Якщо
   то розв’язком нерівності
   буде
   , а нерівність
   не має розв’язків. Отже, перша система не має розв’язків.

Розв’яжемо другу систему.

Розглянемо нерівність

.

Ураховуючи розв’язання попередньої системи,

.

1. Якщо

, то нерівність не має розв’язків. Отже, друга система не має розв’язків.

2. Якщо

то розв’язком нерівності буде . Тоді розв’язком нерівності буде . Тобто розв’язок другої системи матиме вигляд .

3. Якщо

, то одержимо нерівність , звідси .

Отже, загальна відповідь: при

;

при

;

при

.

Схема оцінювання

1. Якщо учень правильно знайшов область допустимих значень параметра а і розглянув нерівність як сукупність двох систем, то він одержує 1 бал.
2. За правильно розв’язану першу систему нерівностей учень одержує ще 2 бали. Якщо він припустився помилки при розв’язанні однєї з нерівностей при умові, що друга нерівність розв’язана правильно, учень одержує 1 бал.
3. За правильно розв’язану другу систему нерівностей учень одержує ще 2 бали. Якщо він припустився помилки при розв’язанні однєї з нерівностей при умові, що друга нерівність розв’язана правильно, учень одержує 1 бал.
4. За правильно записану відповідь учень одержує ще 1 бал.

Тобто за правильно розв’язану задачу учень одержує 6 балів.

· Якщо учень розв’язує нерівність методом інтервалів, то в цьому випадку має місце така схема оцінювання:

1. За правильно знайдене ОДЗ змінної і параметра учень одержує 1 бал.
2. За правильно знайдені нулі функції
   ) з вказівкою відповідних значень параметра учень одержує 2 бали.

Якщо знайдені нулі тільки одного множника з вказівкою відповідних значень параметра, то учень одержує лише 1 бал.

За правильне застосування методу інтервалів на кожному з виділених проміжків для параметра а учень одержує 2 бали.

Якщо учень розглянув один з випадків

або , то він одержує лише 1 бал.

За правильно записану відповідь учень одержує ще 1 бал.

Тобто за правильно розв’язану задачу учень одержує 6 балів.

· Якщо учень розв’язує нерівність методом розбиття усіх значень а на три випадки:

, а=1,

, то в цьому випадку має місце така схема оцінювання:

1. Якщо учень дослідив випадок
   і одержав відповідь, то він одержує1 бал.
2. Якщо учень дослідив випадок
   і одержав відповідь, то він одержує2 бали.
3. Якщо учень дослідив випадок
   і одержав відповідь, то він одержує2 бали.
4. За правильно записану відповідь учень одержує ще 1 бал.

Тобто за правильно розв’язану задачу учень одержує 6 балів.