[AK1] LL(k) - Грамматики.
Определение LL(k)-грамматик.
Для начала предположим, что G=(N,E,P,S) - однозначная грамматика и w=a1,a2...an - цепочка из L(G). Тогда существует единственная последовательность левовыводимых цепочек b0,b1..bm, для которой S=b0,bi,pi Þ bi+1 при 0<=i<m и am=w. Последовательность p0p1..pm-1 - левый разбор цепочки w.
Допустим, что мы хотим найти этот левый разбор, просматривая w один раз слева направо. Можно попытаться сделать это, строя последовательность левовыводимых цепочек b0,b1..bm. Если bi=a1,a2...ajAB, то к данному моменту анализа мы уже прочли первые j входных символов и сравнили их с первыми j символами цепочки bi. Было бы желательно определить bi+1, зная только a1,a2...aj (часть входной цепочки, считанную к данному моменту), несколько следующих входных символов (aj+1aj+2...aj+k для некоторого фиксированного k) и нетерминал A. Если эти три фактора однозначно определяют, какое правило надо применить для развертки нетерминала A, то ai+1 точно определяется по ai и k входным символам aj+1aj+2...aj+k .
Грамматика, в которой каждый левый вывод обладает этим свойством, называется LL(k)-грамматикой. Мы увидим, что для каждой LL(k)- грамматики можно построить детерминированный левый анализатор, работающий линейное время. Дадим несколько определений :
ОПР: Пусть a=xb такая левовыводимая цепочка в грамматике G=(N,E,P,S), что xÎE*, а b либо начинается нетерминалом, либо пустая цепочка. Будем называть x законченной частью цепочки a, а b - незаконченной частью частью. Границу между x и b будем называть рубежом.
ПРМ: Пусть x=abacAaB, тогда abac - законченная часть цепочки x, AaB - незаконченная часть цепочки. Если x=abc, то abc - законченная часть и е - незаконченная и рубежом служит конец цепочки.
Иными словами идею LL(k) - грамматики можно объяснить так: если имеется уже разобранная часть цепочки, то на основании этого и еще нескольких неразобранных символов мы можем сделать вывод о том, какое правило неоюходимо применить. Таким образом грамматика посуществу не зависит (не считая k последующих символов) от того, что выводится из незаконченной части цепочки. В терминах деревьев этот процесс выглядит следующим образом: дерево вывода цепочки строится начиная с корня и детерминировано сверху вниз.
Вводят функцию FIRST(x) - возвращающую первых k символов. Обычно приписывают в качестве индексов k и G - количество символов и грамматика соответственно, но их возможно опускать, если это не вызовет недоразумений.
ОПР: KC- грамматика G=(N,E,P,S) называется LL(k)-грамматикой для некоторого фиксированного k, если из существования двух левых выводов
(1) SÞwAa`Þwb`a`Þwx
(2) SÞwAa`Þwc`a`Þwy
для которых FIRST(x)=FIRST(y), вытекает что b`=c`.
Иначе это определение выражает то, что для имеющейся цепочки и зная следующие k символов можно применить не более одного правила вывода. Грамматика называется LL- грамматикой, если она LL(k)- грамматика для некоторого k.
ПРМ: Пусть G состоит из правил S®aAS|b, A®a|bSA. Интуитивно G является LL(1)- грамматикой, потому что, коль скоро дан самый левый нетерминал С в левовыводимой цепочке и следующий входной символ с, существует не более одного правила, применимого к С и приводящего к терминальной цепочке, начинающейся символом с. Переходя к определению LL(1)- грамматики, мы видим, что если SÞwSa`Þwb`a`Þwx и SÞwSa`Þwc`a`Þwy и цепочки x и y начинаются одним и тем же символом , то должно быть b`=c`. В данном случае если x и y начинаются символом a, то в выводе участвовало правило S®aAS и b`=c`=aAS. Альтернатива S®b здесь невозможна. С другой стороны, если x и y начинаются с b, то должно применяться правило S®b и b`=c`=b. Заметим, что случай x=y=e здесь невозможен, так как из S в грамматике G не выводится e.
Когда рассматриваются два вывода SÞwAa`Þwc`a`Þwy рассуждение аналогично. Грамматика G служит примером так называемой простой LL(1)- грамматики (или разделенной грамматики).
ОПР: КС-грамматика G=(N,E,P,S) без e-правил называется простой LL(k) - грамматикой ( или разделенной грамматикой ), если для каждого AÎN все его альтернативы начинаются различными терминальными символами.
Предсказывающие алгоритмы разбора.
Разбор для LL(k)-грамматики очень удобно осуществлять с помощью так называемого k- предсказывающего алгоритма разбора. k-предсказывающий алгоритм использует входную ленту, магазин и выходную ленту. Алгоритм пытается проследить вывод цепочки, записанной на его входной ленте. При чтении анализируемой цепочки входная головка может «заглядывать» вперед на очередные k символа. Эти символы называют аванцепочкой. Алгоритм имеет конфигурацию представляемую тройкой (x,Xa,n), где
x - неиспользованная часть входной цепочки
Xa - цепочка в магазине и Х - верхний символ
n - цепочка на выходной ленте
Работой k- предсказывающего алгоритма руководит управляющая таблица, которая задает соответствие между множеством
{(верхний символ магазина)Х(аванцепочка)}
и множеством
{(правая часть правила и его номер)|ошибка|выброс|допуск}.
Алгоритм является корректным для грамматики, если для любой цепочки из этой грамматики алгоритм позволяет получить упорядоченный список правил для ее разбора. Если работой некоего алгоритма руководит какая-то таблица и этот алгоритм оказывается корректным для рассматриваемой грамматики, то таблицу называют корректной.
ПРМ:
Пусть дана грамматика с правилами :
(1) S®aAS
(2) S®b
(3) A®a
(4) A®bSA
Для такой грамматики будет построена таблица:
аванцепочка
a b e
верхний S aAS,1 b,2 ошибка
символ A a,3 bSA,4 ошибка
магазина a выброс ошибка ошибка
b ошибка выброс ошибка
$ ошибка ошибка допуск
По такой таблице будет проведен анализ:
(abbab,S$,e) |-( abbab,aAS$,1)
|-( bbab,AS$,1)
|-( bbab,bSAS$,14)
|-( bab,SAS$,14)
|-( bab,bAS$,142)
|-( ab,AS$,142)
|-( ab,aS$,1423)
|-( b,S$,1423)
|-( b,b$,14232)
|-( e,$,14232)
k- предсказывающий алгоритм разбора КС-грамматики G можно моделировать на детерминированном МП- преобразователе с концевым маркером на входной ленте. Так как входная головка МП- преобразователя может обозреть только один входной символ, аванцепочка должна храниться в конечной памяти управляющего устройства. Остальные детали моделирования очевидны.
ТРМ: Пусть А - k- предсказывающий алгоритм разбора для КС-грамматики G. Тогда существует такой детерминированный МП- преобразователь, который позволяет разобрать любую цепочку из этой грамматики. Иначе говоря можно промоделировать любой алгоритм на указанном преобразователе.
СЛВ: Пусть А - k- предсказывающий алгоритм разбора для КС-грамматики G. Тогда для G существует детерминированный левый анализатор.
Следствия определения LL(k)-грамматики.
Покажем что для каждой LL(k) грамматики можно механически построить корректный k- предсказывающий алгоритм разбора. Так как ядром алгоритма является управляющая таблица, надо показать, как строить по грамматике такую таблицу. Для этого выведем некоторые следствия определения LL(k)- грамматики.
В определении LL(k)- грамматики утверждается, что для данной выводимой цепочки wAa цепочка w и непосредственно следующие за ней k входных символов однозначно определяют, какое применить правило для развертки нетерминала A. Поэтому на первый взгляд может показаться, что для определения нужного правила надо помнить всю цепочку w. Однако это не так. Докажем теорему, очень важную для понимания LL(k)-грамматик:
ТРМ: КС-грамматика G=(N,E,P,S) является LL(k)-грамматикой тогда и только тогда, когда для двух различных правил A®b` и A®c` из P пересечение FIRST(b`a`)ÇFIRST(c`a`) пусто для всех таких wAa`, что SÞwAa`.
ДКВ: Необходимость. Допустим, что w, A, a`, b` и c` удовлетворяют условиям теоремы, а FIRST(b`a`)ÇFIRST(c`a`) содержит x. Тогда по определению FIRST для некоторых y и z найдутся выводы SÞwAa`Þwb`a`Þwxy и SÞwAa`Þwc`a`Þwxz. (Заметим, что здесь мы использовали тот факт, что N не содержит бесполезных терминалов, как это предполагается для всех рассматриваемых грамматик.) Если |x| < k то y = z = e. Так как b` ¹ c`, то G не LL(k)- грамматика.
Достаточность. Допустим, что G не LL(k)- грамматика. Тогда найдутся такие два вывода SÞwAa`Þwb`a`Þwx и SÞwAa`Þwc`a`Þwy, что цепочки x и y совпадают в первых k позициях, но b`¹c`. Поэтому A®b` и A®c` - различные правила из P и каждое из множеств FIRST(b`a`) и FIRST(c`a`) содержит цепочку FIRST(x) совпадающую с FIRST(y). ЧТД.
ПРМ: Грамматика G из правила S®aS|a, не будет LL(1)- грамматикой, так как FIRST1(aS)=FIRST1(a)=a. Это можно объяснить так - видя только первый символ цепочки мы не можем определить какое правило необходимо применить (левое или правое). С другой стороны эта грамматика является LL2(k) грамматикой - что вполне очевидно.
ОПР: Пусть G=(N,E,P,S) - КС-грамматика. Определим FOLLOWk(b`) как множество терминальных символов, которые могут встречаться после нетеминала, являющегося аргументом функции.
ТРМ: КС-грамматика G=(N,E,P,S) является LL(1)-грамматикой тогда и только тогда, когда для двух различных правил A®b` и A®c` пересечение FIRST1(b` FOLLOW1(A))ÇFIRST1(c` FOLLOW1(A)) пусто при всех AÎN. (Без ДКВ).