Замена непрерывной передаточной функции дискретной

Если математическая модель системы представляется в виде соединения линейных и нелинейных блоков, то для описания линейных блоков чаще всего используется передаточная функция K (p). В этом случае цифровую модель непрерывного линейного блока можно получить, заменив непрерывную передаточную функцию K (p) дискретной K (z).

Для этого можно использовать связь между непрерывными и дискретными изображениями, устанавливаемую дискретным преобразованием Лапласа (Z-преобразованием). В таблице 1 приведена эта связь для передаточных функций, используемых в данной лабораторной работе.

Таблица 1

K (p)

p²

(1 +pT)

K (z)

Δt z

(z - 1)

(Δt) ² z

(z - 1) ²

(Δt/T) z

(z - e^-^Δt/T)

Заметим, что здесь комплексная переменная zопределяется как z= e^p^Δtи является оператором опережения на интервал дискретизации. Соответственно z^-1 - это оператор задержки на интервал дискретизации.

Другой путь предусматривает непосредственный переход от комплексной переменной pк комплексной переменной zзаменой операции аналогового интегрирования 1/pоперацией дискретного интегрирования. При дискретном описании аналогового интегрирования можно оперировать только с значениями входного и выходного процессов в моменты дискретизации. На рис.5 показано, как это можно сделать, используя численное интегрирование по методу прямоугольников и по методу трапеций.

Значение выходного процесса y_kинтегратора в момент времени t= kΔtотличается от предыдущего значения y_k_-1 на величину площади Sпод кривой x (t) (заштрихованная фигура на рис.5 а).

y_k = y_k-₁ + S

y_k = y_k-1 + Δt x_k-1 y_k = y_k-₁ + Δt x_k

y_k= y_k_-₁ +

+Δt (x_k+ x_k_-₁) /2

а) б) в) г) Рис.5

По методу прямоугольников площадь можно определить по разному в зависимости от того, какую величину принять за высоту прямоугольника: x_k_-₁ или x_k (рис.5.5 б и рис.5.5 в). На рис.5.5 г) показано, как вычисляется эта площадь по методу трапеций. Рекуррентные формулы для интегрирования приведены под рисунками.

По этим формулам можно записать дискретные передаточные функции. Поясним это на примере интегрирования по методу трапеций:

y_k= y_k_-₁ + Δt (x_k+ x_k_-₁) /2.

Перенесем y_k_-₁ в левую часть и возьмем от полученного выражения Z-преобразование. Учитывая, что запаздывание на интервал дискретизации в области оригиналов соответствует умножению на z^-1 в области изображений, получим:

Y (z) - z^-¹Y (z) = (Δt/2) (X (z) + z^-¹X (z)).

Дискретная передаточная функция - это отношение Z-изображений выходной и входной переменных, поэтому

K (z) = Y (z) /X (z) = (Δt/2) (1 + z^-1) / (1 - z^-1) = (Δt/2) (z+ 1) / (z - 1).

В таблице 2 приведены выражения дискретных передаточных функций для различных методов численного интегрирования для одного и двух интеграторов.

Таблица 2

K (p)	K (z)
K (p)	Метод прямоугольников (1)	Метод прямоугольников (2)	Метод трапеций
1 p	Δt z - 1	Δt z z - 1	Δt (z + 1) 2 (z - 1)
1 p²	(Δt) ² (z +1) 2 (z - 1) ²	(Δt) ²z (z - 1) ²	(Δt) ^{2 (}z² + 4z + 1) 6 (z - 1) ²

Видим, что одно и то же аналоговое устройство может описываться отличающимися дискретными передаточными функциями.

В таблице 1 была приведена дискретная передаточная функция интегрирующей цепи (для которой К (р) = 1/ (1 + рТ)), полученной применением Z-преобразования. Найдем другие варианты дискретной передаточной функции интегрирующей цепи, отличающиеся методами численного интегрирования.

При использовании метода прямоугольников (1) в передаточную функцию K (p) = 1/ (1 + pT) вместо р нужно подставить (z - 1) /Δt. Тогда получим

K (z) = 1/ (1 + (z - 1) T/Δt) =.

Аналогично можно получить дискретные передаточные функции и для других методов численного интегрирования. Они представлены в таблице 3 Принято обозначение Δt/T= α

Таблица 3

Метод	K (z)
Z-преобразование	α z z - e^-α
Метод прямоугольников (1)	α z - (1 - α)
Метод прямоугольников (2)	(α/ (1 + α)) z z - 1/ (1 + α)
Метод трапеций	(α / (2 + α)) (z + 1) z - (2 - α) / (2 + α)

Этим передаточным функциям соответствуют следующие рекуррентные формулы.

Для численного интегрирования по методу прямоугольников (1)

Полученная формула совпадает с формулой для прямого метода Эйлера

Для численного интегрирования по методу прямоугольников (2)

y_k= ( (2 - α) / (2 + α)) y_k_{- 1} + (α/ (2 + α)) (x_k+ x_k_{- 1}). (9)

В лабораторной работе производится оценка ошибок цифрового моделирования для каждого из этих методов.

Моделирование линейных замкнутых систем

Нужно быть очень внимательным при выборе интервала дискретизации, когда моделируются замкнутые системы. В этих системах текущее значение входного процесса сравнивается со значением выходного процесса, рассчитанного по предыдущим значениям входного процесса. Это экстраполированное значение не должно значительно отличаться от входного процесса.

В противном случае возникают большие ошибки моделирования, а при большом интервале дискретизации процесс может стать неустойчивым. Выбор интервала дискретизации нужно связывать с полосой пропускания замкнутой системы.

Проводя аналогию с теоремой Котельникова, можно потребовать, чтобы Δf_0,1Δt= 5 - 10, где Δf_0,1 - полоса пропускания замкнутой системы по уровню 0,1.

Рассмотрим моделирование непрерывной замкнутой системы на конкретном примере, когда передаточная функция разомкнутой системы

Такая модель часто используется при анализе ошибок в следящей системе.

Запишем дискретную передаточную функцию разомкнутой системы, заменяя интеграторы по методу прямоугольников (2). Для этого преобразуем передаточную функцию разомкнутой системы (5.10), поделив числитель и знаменатель на р²:

Моделирование линейных непрерывных систем в среде LabVIEW (стр. 2 из 3)

Замена непрерывной передаточной функции дискретной

Моделирование линейных замкнутых систем