Модель распределения ресурсов (стр. 4 из 9)

Показатель эффективности k-го шага равен

. Это—доход, полученный от двух предприятий в течение k-го года.

Показатель эффективности задачи—доход, полученный от двух предприятий в течение n лет—составляет

. (2.5)

Уравнение состояния выражает остаток средств

после k-го шага и имеет вид

. (2.6)

Пусть

— условный оптимальный доход, полученный от распределения средств

между двумя предприятиями за п—k+1 лет, начиная с k-го года до конца рассматриваемого периода. Запишем рекуррентные соотношения для этих функций:

; (2.7)

где

- определяется из уравнения состояния (2.6).

Задача 3. Решить задачу 2 при следующих условиях:

;

Если

- средства, выделенные соответственно предприятиям I и II в k-м году, то суммарный доход, полученный от обоих предприятий, равен

а уравнение состояния (2.6) принимает вид

Основные функциональные уравнения (2.7) запишутся следующим образом:

;

Проведем этап условной оптимизации.

4-й шаг. Условный оптимальный доход равен

так как линейная относительно

функция достигает максимума в конце интервала, т.е. при

3-й шаг:

Коэффициент при

отрицателен, поэтому максимум в этой линейной относительно

функции достигается в начале интервала, т.е.

;

2-й шаг:

, откуда

;

1-й шаг:

при

Результат условной оптимизации:

;

Перейдем к безусловной оптимизации. Полагаем

; тогда

. Зная

, находим

; используя

, получаем

. Аналогично

. Наконец,

. Следовательно, средства по годам нужно распределить так:

Год
Предприятие	1	2	3	4
I	0	0	0	5120
II	10000	8000	6400	0

При таком распределении средств (10000 руб.) за четыре года будет получен доход, равный

Непрерывные модели, примером которых служит задача 3, не являются типичными в практике распределения ресурсов. В дальнейшем большинство задач будет носить дискретный характер.

2.3 Дискретная динамическая модель оптимального распределения ресурсов

При дискретном вложении ресурсов может возникнуть вопрос о выборе шага

в изменении переменных управления. Этот шаг может быть задан или определяется исходя из требуемой точности вычислений и точности исходных данных. В общем случае эта задача сложна, требует интерполирования по таблицам

на предыдущих шагах вычисления. Иногда предварительный анализ уравнения состояния позволяет выбрать подходящий шаг

, а также установить предельные значения

, для которых на каждом шаге нужно выполнить табулирование.

Рассмотрим двумерную задачу, аналогичную предыдущей, в которой строится дискретная модель ДП процесса распределения ресурсов.

Задача 3. Составить оптимальный план ежегодного распределения средств между двумя предприятиями в течение трёхлетнего планового периода при следующих условиях: 1) начальная сумма составляет 400; 2) вложенные средства в размере x приносят на предприятии I доход

и возвращаются в размере 60% от x, а на предприятии II—соответственно

и 20%; 3) ежегодно распределяются все наличные средства, получаемые из возвращенных средств: 4) функции

заданы в табл. 1:

Таблица 1

x	50	100	150	200	250	300	350	400
	6	10	15	26	28	38	45	49
	8	12	20	28	35	40	46	48

Модель динамического программирования данной задачи аналогична модели, составленной в задаче 1.