Розвязок інтеграла метоном Нютона Котеса та Сімсона (стр. 2 из 6)

1.3.4 Метод Ньютона-Котеса

Цей метод засновано на апроксимації однієї із сторін криволінійної трапеції(дивюрис.1.5), яка отримується поділом відрізка [а,в] на N рівних частин, многочленами вищих порядків, також як у методі трапецій використовуєься лінійна апроксимація (заміна однієї із сторін трапеції прямою лінією), а в методі Сімпсона – апроксимація параболою.

Основна формула методу

Де Hi – коефіцієнти Ньютона-Котеса. Ці коефіцієнти не залежать від вигляду f(x) , а є функцією тільки N (кількість вузлів інтерполяції). Таким чином, коефіцієнти Ньютона-Котеса можна обчислити раніше для різного числа вузлів та звести в таблицю1.1.

Легко можна показати , що методи трапецій та Сімпсона є частинними випадками методу Ньютона-Котеса[1].

Коефіцієнти Ньютона-Котеса Таб.1.1

N=1	Ho=H1=1/2
N=2	Ho=H2=1/6, H1=2/3
N=3	Ho=H3=1/8, H1=H2=3/8
N=4	Ho=H4=7/90, H1=H3=16/45, H2=2/15
N=5	Ho=H5=19/288, H1=H4=25/96, H2=H3=25/144
N=6	Ho=H6=41/840, h1=H5=9/35, H2=H4=9/280, H3=34/105
N=7	Ho=H7=751/17280,H1=H6=3577/17280, H2=H5=1323/17280, H3=H4=2989/17280

1.3.5 Метод Чебишева

Метод Чебишева грунтується на обчисленні інтеграла за значеннями функції Yi=f(Xi),(i=1,2,…,N) у зафіксованих вузлах інтерполяції Х1, Х2, …, Хn (де h=const). Коефіцієнти Ньютона-Котеса Hi (i=1,N) не залежать від значень функції у вузлах інтерполяції. П.Л. Чебишев запропонував для обчислення визначених інтегралів використати формулу

в якій квадратурні коефіцієнти Сі (і=1,2,…,N) зафіксовані, а абсциси Хі (і=1,2,…,N) підлягають визначенню.

Для простоти обчислень необхідно вибрати С1=С2=…=Сn. Розглянемо спочатку частинний випадок, коли межі інтегрування дорівнюють –1 та 1. Тоді формула 1.10 набере вигляду

Де квадратурні коефіцієнти Сn та абсциси Хі підлягають визначенню[2].

Коефіцієнти та вузли інтерполяції Хі визначимо із умови, що ця рівність є точною для випадку, коли f(х) многочлен вигляду

Підставимо многочлен1.12 у ліву частину 1.11 та проінтегруємо

У праву частину рівності 1.11 підставимо значення многочлена 1.12 у вузлах Х1, Х2, …,Хn:

Тоді рівність1.13 набере вигляду

Отримана рівність повинна виконуватися за будь-яких значень а0,а1,…,аn і таким чином, порівнюючи коефіцієнти аі в правій лівій частинах 1.15 знаходимо, що n*Cn=1, звідки

i, крім цього,

Підставляючи знайдене для Сn виразу в співвідношення 1.13 отримаємо формулу Чебишеваде точки Х1,Х2,…Хn визначаються із системи рівнянь 1.17.

Значення Х1,…,Хn для різних n обчислюються раніше та зводяться в таблицю 1.2.

Таблиця 1.2

Число ординат	Значення абсцис
N=2	-Х1=Х2=0.577350
N=3	-Х1=Х3=0.707107; Х2=0
N=4	-Х1=Х4=0.794654; -Х2=Х3=0.187592
N=5	-Х1=Х5=0.832498; -Х2=Х4=0.374541; Х3=0
N=6	-Х1=Х6=0.866247; -Х2=Х5=0.422519;-Х3=Х4=0.266635
N=7	-Х1=Х7=0.883862; -Х2=Х6=0.529657;-Х3=Х5=0.323912; Х4=0

Коли межі даного інтеграла відрізняються від –1 та 1 , формула Чебишева матиме вигляд

де

а Хі мають вказані в таблиці значення.

1.3.6 Метод Гауса

Для отримання підвищеної точності за чисельним інтегруванням користуються формулою Гаусса

в якій не фіксуються не тільки вузли інтерполяції Х1, Х2,…,Хn, а й квадратурні коефіцієнти С1,…,Сn. При цьому Zn невідомих величин Х1,Х2,…,Хn ; С1,…,Сn визначається із умови, що формула є точною у випадку будь-якого многочлена 2n-1[1].

Таким чином, для будь-якого многочлена (2n-1)-й степені

повинна виконуватися рівність:

Многочлен f(x), степені якого рівні 2n-1 , можна показати у вигляді

f(x)=F(x)Q(x)+R(x),(1.24)

де F(x)-шуканий многочлен n-ї степені, а Q(x) та R(X)- відповідно частинне від ділення f(x) на F(x) та залишок від цього ділення, степені многочленів Q(x) та R(x) не перевищують (2n-1).

Вираз для F(x) можна записати так:

тут величини Х1,…,Хn- шукані абсциси формули Гаусса, а А1,А2,…,Аn- постійні.

Оскільки шукана функція F(x) у вузлах Х1,…,Хn перетворюється на нуль, то

Тоді рівність 1.23 набере вигляду

Але для многочлена R(x) степені не вище n-1 також повинна бути точна рівність:

Bіднімаючи 1.28 1.27 ,отримаємо

Із останнього відношення можна визначити шукану функцію F(x). Оскільки рівність 1.29 справедлива для якого-небудь многочлена Q(x) степені n-1 , тобто для многочлена вигляду

то вона при будь-яких коефіцієнтах

отже, маємо таку систему рівнянь(1.31)

Підставляючи сюди вирази для F(x) із формули 1.25 та інтегруючи, отримаємо для визначення коефіцієнтів

систему n рівнянь(1.32)

з яких видно, що А1=А3=А5=А7=…=0 та, отже, шуканий многочлен має вигляд

Відмітимо, що при парному n корені рівняння F(x)=0 попарно рівні за абсолютним значенням, але протилежні за знаком, а при непарному n коренем є також і Х=0[1].

Визначивши із системи 1.32 коефіцієнти Аі (і=1,2,…,n), складемо рівняння F(x)=0 та знайдемо його корені Х1,…,Хn, тобто шукані абсциси формули Гаусса, а потім обчислимо коефіцієнти Сі (і=1,2,…,n) за формулою

1.4 Уточнена постановка задачі

Проект дослідження функції розробляється для дослідження заданої підінтегральної функції.

В даному проекті будуть реалізовуватися наступні функції:

1. Дослідження заданої функції різними методами (за умовою завдання);

2. Зміна кроку дослідження функції;

3. Зміна меж дослідження функції;

4. Вивід результатів;

5. Тестування програми на фнкціях, які легко обраховуються;

5. Вивід допомоги про програму та автора;

2 Розробка алгоритмів моделювання на ЕОМ

2.1 Планування вхідних та вихідних даних

Для розвязку поставленої задачі потрібні певні вхідні данні, на основі яких будуть проводитись обчислення. В нашому випадку вхідними данними будуть проміжки інтегрування. Причому послідовнність введення проміжків необхідно зберігати(спочатку вводиться точка з меншим значенням, потім з більшим). Для дослідження функції потрібно задавати також крок, з яким буде змінюватись коефіцієнт “k”. Для роботи меню вхідними данними також будуть коди нажатих клавіш на клавіатурі.

Проміжки, які вводяться для дослідження інтегральної функції маюти тип float, тобто вони можуть приймати як цілі, так і дробові значення на інтервалі 3.4*10^-38 до 3.4* 10³⁸.

При дослідженні інтегралу також необхідно вводити межі, в яких буде змінюватись коефіцієнт k, який теж має тип float, але за умовою задачі 0≤k≤1.

Всі вхідні данні для зручності зібрані в один клас CD, який містить також декілька компонентних функцій для обробки цих даних (вивід, зміна).

Вихідними данними є масив значень функції при певному значенні аргументу.

Всі вхідні та вихідні данні можна звести в таблицю.

Таблиця 2.1. Вхідні та вихідні данні

Змінна	Тип	Межі	Примітка
fip	float	3.410^-38 -3.4 10³⁸	Початкова точка інтегрування
fik	float	3.410^-38 -3.4 10³⁸	Кінцева точка інтегрування
kp	float	3.410^-38 -3.4 10³⁸	Початкове значення коефіцієнту k
kk	float	3.410^-38 -3.4 10³⁸	Кінцеве значення коефіцієнту k
h	float	3.410^-38 -3.4 10³⁸	Крок дослідження функції
y	float	3.410^-38 -3.4 10³⁸	Значення інтегральної функції

2.2 Аналіз задачі, які вирішуються при дослідженні об’єкта на ЕОМ