Розвязок інтеграла метоном Нютона Котеса та Сімсона (стр. 1 из 6)
Зміст
Вступ
1 Огляд та варіантний аналіз чисельних методів моделювання
1.1 Основні поняття і визначення
1.2 Класифікація методів рішення поставленої задачі
1.3 Опис методів моделювання на ЕОМ
1.3.1. Метод прямокутників
1.3.2 Метод трапецій
1.3.3 Метод Сімпсона
1.3.4 Метод Ньютона-Котеса
1.3.5 Метод Чебишева
1.3.6 Метод Гаусса
1.4 Уточнена постановка задачі
2 Розробка алгоритмів моделювання на ЕОМ
2.1 Планування вхідних та вихідних даних
2.2 Аналіз задачі, які вирішуються при дослідженні об’єкта на ЕОМ
2.3 Описовий алгоритм головної програми
2.4 Схема алгоритму головної програми
2.5 Алгоритми методів
2.5.1 Алгоритм методу Сімпсона
2.5.2 Алгоритм методу Нютона-Котеса
2.5.3 Алгоритм методу Чебишева
2.6 Опис основних функцій
2.7 Структура комплексу програм для дослідження об’єкта на ЕОМ
3 Планування експепементальних досліджень об’єкту на ЕОМ
3.1 Класифіквція експерементів
3.2 Опис експерементальних досліджень
3.3 Дослідження об’єкту на ЕОМ
4 Аналіз результатів дослідження
5 Оцінка похибок отриманих результатів
6 Оцінка ефективності комплексу програм для дослідження
7 Розробка пакету документів для супроводження комплексу програм
7.1 Інструкція програмісту
7.1.1 Опис вихідного коду
7.1.2 Зміна інтегруючої функції
7.1.3 Зміна тексту допомоги
7.2 Інструкція користувачеві
7.2.1 Запуск
7.2.2 Ввод данних
7.2.3 Перегляд результатів
7.2.4 Вихід з програми
Висновки
Література
Додатки
Додаток А. Технічне завдання
Додаток Б. Лістинг головної програми
Додаток В. Структура дискети
Анотація
Програмний комплекс, що розроблено в даній курсовій роботі створений для знаходження визначеного інтегралу. Програмний комплекс має сучасне багатоієрархічне меню, допомогу. За допомогою даної програми можна виконувати різноманітні визначені інтеграли, від зовсім простих, до досить складних функцій. Результати видаються у вигляді таблиць, що досить зручно, а також можна виводити результати обчислення всіма методами відразу, що дуже зручно при порівнянні методів. Цей комплекс програм розроблений для досить легкого і простого користування.
1 Огляд та варіантний аналіз чисельних методів моделювання
1.1 Основні поняття і визначення
Визначений інтеграл – чисельно рівний площі, обмеженою частиною графіка функції y = f(x), віссю Ох і ординатами f(a) і f(b). Якщо крива перетинає вісь Ох один або декілька разів всередині інтервалу, то інтеграл чисельно рівний алгебраїчній сумі площ, що знаходяться по кожну сторону вісі Ох[6].
Чисельне інтегрування - являє собою стійкий процес і в протиставлення чисельному диференціюванню зменшує дію похибок у початкових даних на кінцевий результат. В основу чисельного інтегрування покладено наближене обчислення площини під кривою, яка описується підінтегральною функцією інтеграла:
Визначений інтеграл - являє собою площину, обмежену кривою f(x), віссю Х та прямими x=a; x=b[6].
1.2 Класифікація методів рішення поставленої задачі
Інженеру часто приходиться обчислювати визначений інтеграл чисельними методами. Це буває у тих випадках, коли або не вдається виразити інтеграл у замкненій формі, або вона настільки складна, що простіше скористатися чисельним інтегруванням.
Отже основною задачею є обчислення інтегралу виду:
де a і b - нижня та верхня межа інтегрування; f(x) - неперервна функція, відносно якої шукають інтеграл, на відрізку [a,b].
Суть більшості методів обчислення визначених інтегралів заключається в заміні підінтегральної функції f(x) апроксимуючою функцією f(х), для якої можна легко записати первісну в елементарних функціях, тобто
де S - наближене значення інтеграла; R - похибка обчислення інтеграла[2].
Методи чисельного інтегрування, що найбільш часто використовуються на практиці можна згрупувати в залежності від способу апроксимації підінтегральної функції. Дамо коротку характеристику груп найбільш розповсюджених методів.
Методи Ньютона-Котеса засновані на поліноміальній апроксимації підінтегральної функції. Методи цього класу відрізняються один від одного степенем використовуваного полінома, від якого залежить кількість вузлів, де необхідно обчислити функцію f(x). Алгоритми методів прості і легко піддаються програмній реалізації[1].
Сплайнові методи базуються на апроксимації підінтегральної функції сплайнами, що являють собою кусочний поліном. Методи розрізняють по типу вибраних сплайнів. Такі методи є сенс використовувати в задачах, де алгоритми сплайнової апроксимації застосовуються для обробки даних.
В методах найвищої алгебраїчної точності (методи Гаусса-Кристоффеля та інші) використовують не рівновіддалені вузли, розташовані по алгоритму, що забезпечує мінімальну похибку інтегрування для найбільш складних функцій при заданій кількості вузлів. Методи розрізняються способами вибору вузлів і широко використовуються для інтегрування, в тому числі вони можуть бути застосовані і для невласних інтегралів[3].
В методах Монте-Карло вузли вибираються за допомогою датчика випадкових чисел, відповідь носить ймовірний характер. Методи виявляються ефективними при обчисленні великої кратності.
В клас спеціальних групуються методи, алгоритми яких розробляються на основі обліку особливостей конкретних підінтегральних функцій, що дозволяє суттєво скоротити час і зменшити похибку обчислення інтегралів.
1.3 Опис методів моделювання на ЕОМ
Існують такі методи як: метод прямокутників, трапецій, Сімпсона, Ньютона-Котеса, Чебишева, Гаусса. Кожен з цих методів має свої переваги та недоліки. Так наприклад метод прямокутників досить наглядний, простий для розуміння та програмування. Він є так би мовити навчальним методом і необхідний для самого розуміння математичної моделі знаходження визначеного інтегралу. Для інженерних розрахунків знадобляться більш точні методи, наприклад методи Чебишева чи Гаусса[2].
Розглянемо кожний з них більш детально.
1.3.1 Метод прямокутників
Найпростішим методом наближеного обчислення інтеграла є метод прямокутників, геометрична інтерпретація якого зводиться до знаходження визначеного інтегралу як суми площ N прямокутників (з висотою f(x) та основою
отриманих розділень відрізка [а.в] на N рівних частин.(рис.1.1, рис1.2), до того ж якщо розділити на прямокутники зліва на право (див. рис 1.1), то отримаємо формулу лівих прямокутників:
якщо ж розділити на N прямокутників справа наліво (див. рис.1.2), то отримаємо формулу правих прямокутників:
f(x) f(x)Si
f(Xi)
f(xi)
f(Xn)
Рис.1.1 Рис 1.2
1.3.2 Метод трапецій
Суть методу трапецій полягає в тому, що інтеграл обчислюється по-іншому, відрізок інтегрування поділяється на N рівних відрізків, всередині яких підінтегральна крива f(x) замінюєт ься кусково-лінійною функцією j(х), отриманою стягуванням ординат N відрізків хордами.
 |
f(x)
f(x) j(х)
f(x)
рис.1.3рис1.4
Обчислення визначеного інлдюжегтеграла зводиться до знаходження суми площ Si прямокутних прапецій (рисю1.3, рис.1.4.) N.
Площа кожної такої трапеції (рис.1.4) визначається як
Отже, формула трапеції
Похибка обчислення інтеграла за формулою трапеції оцінюється як
1.3.3 Метод Сімпсона (метод парабол або криволінійних трапецій)
Цей метод близький до методу трапецій у тій частині, що інтегрування проводиться шляхом поділу відрізка інтегрування[а,в] на множину відрізкіав(N пар відрізків). Однак, з метою збільшення точності наближеного інтегрування на кожному відрізку
підінтегральної функції f(x) замінюють квадратичною параболою j(х) (рис 1.5, рис.1.6), обчислення визначеного інтеграла зводиться до обчислення суми N криволінійних трапецій 
Площа кожної такої такої трапеції (див. рис.1.5.) визначається за формулою Сімпсона:
Тобто
Рисунок 1.5Рисунок 1.6
Тоді чичельне значення визначеного інтеграла на відрізку [а,в] дорівнюватиме сумі інтегралів, тобто
або
де
