Інтеграли зі змінними границями (стр. 1 из 3)

Міністерство освіти і науки України

Дніпропетровський національний університет

Механіко-математичний факультет

Кафедра обчислювальної механіки і міцності конструкцій

Курсова робота

з чисельних методiв

на тему:

Інтеграли зі змінними границями

Виконавець студент групи МД-01-1Ромащук Р. В.

Керівникстарший викладач Гарт Е.Л.

Дніпропетровськ

2003 р.

Ця курсова робота мiстить в собi такi теоретичнi питання, як « Визначений інтеграл зі змінною верхньої межею. Властивості визначеного інтегралу зі змінною верхньої межею. Чисельні методи знаходження визначеного інтегралу зі змінною верхньої межею», розв’язок за допомогою обчислювальної машини задачi для знаходження визначеного інтеграла зі змінними границями інтегрування, а також наведенi висновки, на основi отриманих результатiв.

З М I С Т

Постановка задачi………………………………………………………………………........4

Вступ…………………………………………………………………………………………....5

1. Постановка задачі чисельного інтегрування.............……............................6

2. Квадратурні формули………...........................................................................6

2.1. Формула прямокутників.......................................................................6

2.2. Формула трапецій..................................................................................7

2.3. Формула парабол (Сімпсона)...............................................................9

3. Чисельні методи знаходження визначеного

інтеграла зі змінною верхньою межею.........................................................10

4.Опис обчислювального алгоритму………………………………………….10

5. Обговорювання результатів…………………………………………………11

Висновки…………………………………………………………………………12

Список посилань………………………………………………………………...13

Додатки:………………………………………………………………………….14

А Опис вихiдних даних та результатiв розрахунку………………...14

В Схема обчислювального алгоритму……………………………….15

С Лiстiнг програми…………………………………………………....18

Постановка задачі

За допомогою квадратурних формул обчислити визначений інтеграл зі мінною границею

(1)

Побудувати сітку, і скласти таблицю значень інтеграла на цій сітці f_n=f(x)

За квадратурною формулою високої точності. Тоді

x_n£x£x_n+1

В С Т У П

В практичних розрахунках, у т.ч. в задачах механіки, нерідко виникає необхідність обчислення визначених інтегралів

де під інтегральна функція f(x) неперервна відрізку [a,b], а вагова функція r(x) неперервна на інтервалі (a,b).

До чисельного знаходження інтеграла звертаються тоді, коли його або неможливо виразити через елементарні функції, або підінтегральна функція задана таблично, а також коли внаслідок інтегрування приходять до незручного для використання виразу. Формули чисельного знаходження визначених інтегралів називаються квадратурними формулами. Побудова квадратурних формул ґрунтується на заміні складної підінтегральної функції деякою більш простою, інтеграл від якої легше обчислити. Виникаюча при цьому похибка називається похибкою квадратурної формули. Най простіші квадратурні формули можуть бути отримані із простих геометричних міркувань.

1. Постановка задачі чисельного інтегрування

Нехай потрібно знайти визначений інтеграл

(1.1)

де функція f(x) неперервна відрізку [a,b], а вагова функція r(x) неперервна на інтервалі (a,b). Тоді f(x)наближають такою функцією j(x;C) від якої інтеграл легко взяти в елементарних функціях. Завдяки лінійності такої апроксимації відносно параметрів c_i функцію можна записати так:

(1.2)

де r(x) – залишковий член апроксимації. Підставляємо (1.2) в (1.1), отримаємо загальну формулу чисельного інтегрування – квадратурну формулу:

;

де х_i - вузли, с_i – ваги, R – залишковий член. Інтеграл приблизно заміняється сумою, схожою на інтегральну суму, причому вузли та коефіцієнти цієї суми не залежать від f(x).

2. Квадратурні формули.

2.1. Формула прямокутників.

Припустимо, що fÎC₂[-h/2,h/2], h>0 .

(2.1.1)

де f₀=f(0), тобто площа криволінійної трапеції, обмеженої зверху графіком функції f(x) , апроксимується площею прямокутника, висота якого дорівнює значенню f(x) в середній точці трапеції (мал. 2.1.1).

мал. 2.1.1. Формула прямокутників

Знайдемо залишковий член , тобто похибку формули (2.1.1) . Нехай

(2.1.2)

Тому що F(0)=0,F^/(0)=f₀,F^//(0)=f^/₀,F^///(x)=f^//₀,

то відповідно до формули Тейлора з залишковим членом у формі Лагранжа маємо

(2.1.3)

деx_- ,x₊ - деякі точки , -h/x_-<x₊<h/2.

Функція F(x) є первісної для f(x). Тому для інтеграла, що стоїть в лівій частині наближеної рівності (2.1.1), з формули Ньютона-Лейбница з розрахунком (2.1.3) випливає наступне співвідношення

Ззвідси одержуємо формулу прямокутників із залишковим членом:

(2.1.4)

2.2. Формула трапецій.

Нехай fÎC₂[0,h],h>0

(2.2.1)

де f₀=f(0), f₁=f(h) тобто інтеграл

приблизно заміняється площею заштрихованої трапеції, показаної на малюнку (мал. 2.2.1).

мал. 2.2.1. Формула трапецій.

Знайдемо залишковий член, тобто похибку формули (2.2.1). Виразимо f₁та F₁=F(h) де F - функція (2.1.2), по формулі Тейлора з залишковим членом в інтегральній формі (*):

(*)

(2.2.2)

(2.2.3)

Згідно (2.2.1) маємо

(2.2.4)

Відокремивши в правій частині (2.2.3) доданок hf₀/2 і замінивши його вираженням (2.2.4), з урахуванням того, що

знаходимо

Перетворимо тепер другий доданок у правій частині, використовуючи узагальнену теорему про середнє. Тому що (h-t)t³0,tÎ[0,t] то за теоремою

де xÎ[a,b] - деяка точка . Підставляючи отримане в (*), приходимо до формули трапецій із залишковим членом :

(2.2.5)

2.3. Формула Сімпсона .

Припустимо, що fÎC₄[-h,h]. Тоді інтеграл

наближеного заміняємо площею заштрихованої криволінійної трапеції, обмеженою зверху параболою, що проходить через точки (-h,f_-1), (0,f₀), (h,f₁), де f_i=f(ih) (мал. 2.3.1)

мал. 2.3.1 Формула парабол (Сімпсона)

Зазначена парабола задається рівнянням

у цьому неважко переконатися, поклавши x=-h,x=0,x=h (її можна також одержати, побудувавши інтерполяційний багаточлен другого ступеня і приводячи подібні ). Звідси знаходь