Н а Т Е М У:
“Обернені тригонометричні функції.
Тригонометричні рівняння і нерівності”
ОБЕРНЕНІ ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ. РОЗВЯЗУВАННЯ НАЙПРОСТІШИХ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ РІВНЯНЬ І НЕРІВНОСТЕЙ
ПЛАН
1. Обернені тригонометричні функції
2. Тригонометричні рівняння
3. Тригонометричні нерівності.
Вивчення обернених тригонометричних функцій слід починати з повторення і розширення відомостей про обернені функції, які вивчались в курсі алгебри VIIIкласу і використовувались під час вивчення функцій . У VIII класі було сформульовано означення оборотної функції f, введено поняття функції g, оберненої до функції f, сформульовано необхідну і достатню умову існування функції, оберненої до даної і доведено достатню умову: кожна монотонна функція оборотна. Було доведено також теорему про властивість графіків взаємно обернених функцій і розглянуто вправи на знаходження за формулою даної функції оберненої до неї функції.
У IXкласі було введено означення числової функції як відображення підмножини Dмножини R на деяку підмножину Е множини R. Для позначення області визначення і множини значень функції f були введені символи D(f) і E(f). У X класі під час повторення відомостей про обернену функцію є можливість, використовуючи введену в IX класі термінологію і символіку, сформулювати означення взаємно обернених функцій (див. [2]). З нових відомостей про взаємно обернені функції є теорема (яку формулюють без доведення) про неперервність і монотонність функції, оберненої до даної неперервної і монотонної функції. Ця теорема використовується, коли розглядаються обернені тригонометричні функції.
Перед введенням обернених тригонометричних функцій кожного виду слід повторити з учнями властивості всіх тригонометричних функцій числового аргументу.
Після цього доцільно запропонувати учням знайти функцію, обернену, наприклад, до функції у = sinx. З курсу алгебри VIIIкласу відомо, що спочатку треба переконатись, чи є оборотною дана функція на області її визначення. З графіка синуса добре видно, що ця функція не є оборотною на області визначення, оскільки кожного свого значення вона набуває безліч раз. Але приклад функції у = х2свідчить, що функція може бути оборотною на певній підмножині з області визначення, зокрема на тій множині, де вона монотонна. Функція у = sinxмає безліч проміжків зростання і спадання і тому є оборотною на кожному з них. Домовились вибрати один з цих проміжків - проміжок , на якому синус зростає і набуває всіх своїх значень з множини значень [-1; 1].
Отже, функція у = sinх, якщо x, оборотна і має обернену функцію, яку називають арксинусом і позначають arcsin. Після цього доцільно, щоб учні самі записали область визначення функції і множину її значень: Е (arcsin) = , D(arcsin) = [-1; 1] і назвали дві властивості функції арксинус (зростаюча і неперервна функція), спираючись на сформульовану раніше теорему про неперервність і монотонність функції, оберненої до даної монотонної і неперервної функції.
Графік функції у = arcsinxучні також можуть побудувати без допомоги вчителя, спираючись на властивість графіків взаємно обернених функцій. Доцільно наголосити на тому, що коли під знаком arcsinстоїть число додатне, то значення функції належать проміжку , а коли від'ємне - то проміжку , причому arcsin0 = 0, arcsin1 = , arcsin(-1) = -.
Доведемо непарність функції арксинус, тобто доведемо, що arcsin (-х)= - arcsinx. За означенням арксинуса маємо:
,
Помноживши всі три частини останньої нерівності на —1, дістанемо
Визначимо синуси виразів arcsin(-х) і -arcsinх, спираючись на означення арксинуса і непарність синуса
sin (arcsin (-х))= -х,
sin (-arcsin х) =-sin (arcsin x) = -x.
Але якщо два числа належать одному проміжку і синуси їх рівні, то й числа рівні, оскільки синус монотонний на вказаному проміжку. Отже,
arcsin (-х) = -arcsinx.
Властивість непарності підтверджується симетрією графіка функції у=arcsinxвідносно початку координат.
Обчислюючи значення функції arcsinза таблицями синусів кутів, виражених у градусах, слід додержуватися правил наближених обчислень. Ця вимога не завжди виконується в навчальному посібнику [2]. Так, в прикладі 1 з пояснювального тексту п. 85 записи слід було б виконати так:
0,9063 sin 65°00';
65° 00' 1,1345 рад;
arcsin 0,9063 1,1345,
оскільки даному наближеному значенню синуса 0,9063 за таблицями відповідає наближене значення кута з точністю до 1.
Якщо треба знайти arcsin0,68, то відповідні записи повинні мати такий вигляд:
0,68 sin 420
420 0,73;
arcsin 0,683 0,73
Вивчення інших обернених тригонометричних функцій можна проводити за таким самим планом, максимально стимулюючи самостійну роботу учнів під час знаходження відповідної оберненої функції і з'ясування h властивостей. Щодо арккосинуса вчитель має звернути увагу учнів на те, що ця функція не належить ні до парних, ні до непарних функцій. Вона задовольняє умову
arccos(-х) = - arccosх.
Можна запропонувати допитливим учням самостійно довести що тотожність.
Учні краще засвоять обернені тригонометричні функції та їх властивості, виконавши такі вправи.
1) Чи існує arccos1,5?
2 ) Чи правильні рівності: arcsinх = , arccosх = -; arccosх = ?
3) Знайдіть область визначення функції у = arcsin(2х- 3).
4) В якій чверті знаходиться дуга у = 3arctg1,7?
5) Обчисліть sin; .
Детальніше розглянути властивості обернених тригонометричних функцій можна на заняттях математичного гуртка, зокрема на таких заняттях доцільно довести тотожності:
arccos (-х) = -arccos x,
arcctg (-х) = — arcctgx;
розглянути тригонометричні операції над оберненими тригонометричними функціями; вивести основні співвідношення між ними.
У методичній літературі свого часу велась дискусія з приводу означення поняття тригонометричного рівняння. Тригонометричним пропонували називати:
1) рівняння, в якому змінна входить лише під знак тригонометричної функції (в такому разі рівняння виду sinх+х=0 не належить до тригонометричних; його пропонували називати трансцендентним) .
2) рівняння, в якому змінна входить під знак тригонометричної функції.
З цього приводу слід погодитись з думкою С. І. Новосьолова, який вважав, що розходження в означеннях тригонометричного рівняння не є принциповими. Важливо одне - немає загального методу розв'язування тригонометричних рівнянь. Слід наголосити на принциповій відмінності тригонометричних рівнянь від алгебраїчних: тригонометричні рівняння, в яких змінна входить лише-під знак тригонометричної функції, або зовсім не мають розв'язків, або мають їх безліч. Це пов'язано з властивістю періодичності тригонометричних функцій.
Розв'язуючи тригонометричні нерівності, учні закріплюють свої знання про властивості тригонометричних функцій, набувають навичок теоретико-множинних та логічних міркувань. Розв'язування будь-якої тригонометричної нерівності, як правило, зводиться до розв'язування найпростіших нерівностей виду
Найпростіші тригонометричні нерівності, як і алгебраїчні, природно розв'язувати графічним способом (див. навчальний посібник [2]), з'ясувавши насамперед, в чому полягає графічний спосіб розв'язування нерівності з однією змінною.
Зауважимо, що порівняно з іншими способами розв'язування найпростіших тригонометричних нерівностей графічний спосіб поряд з перевагами має деякий недолік: щоразу потрібно будувати, хоч і схематично, графіки тригонометричних функцій. Тому корисно показати учням, як такі нерівності розв'язуються за допомогою одиничного кола.
Література.
Алгебра і початки аналізу 10-11 клас
Методика викладання алгебри та початків аналізу