Чисельне розвязання задач оптимального керування (стр. 2 из 3)

на початкової ітерації

, використовуючи початкові умови і різницеві співвідношення, що апроксимують рівняння руху:

, .

4. Визначаємо початкове наближення

відповідно до (5).

5. Знаходимо спряжені змінні за формулами (12) – (13).

Визначаємо наступні наближення до оптимального керування

,

в момент

як розв’язки задачі (15) або (16):

, .

7. Обчислюємо відповідну стратегії

траєкторію

за формулами (4), (6):

, , .

8. Знаходимо наступне наближення цільового функціонала

за формулою (5).

9. Якщо

, то переходимо до п. 10, інакше вважаємо, що

, , і переходимо до п. 13.

10. Перевіряємо, чи виконується задана точність обчислень. Якщо

і ,

то переходимо до п. 13, інакше – до п. 11.

11. Позначаємо

, , .

12. Виконуємо наступний крок ітераційного методу – п. 5.

13. Позначаємо

, , – розв’язок, отриманий із кроком розбиття .

1 Якщо крок

не ділився, то переходимо до п. 15, інакше – до п. 1

15. Ділимо крок

. Тоді і переходимо до п. 2 при .

1 Перевіряємо задану точність. Якщо

і ,

то переходимо до п. 18, інакше переходимо до п. 17.

17. Позначаємо

, , , , і переходимо до п. 15 – наступного кроку подвійного перерахування.

18.

, , – розв’язок задачі.

Кінець алгоритму.

3. Оптимальне стохастичне керування: формулювання із зовнішнім інтегралом

Розглянемо відображення

, що задане формулою

, (17)

за таких припущень:

параметр

приймає значення з вимірного простору . Для будь-якої фіксованої пари задана ймовірнісна міра на просторі , а символ у формулі (12) означає зовнішній інтеграл відносно цієї міри. Отже,

;

функції

і відображують множину відповідно в множини і , тобто , ;

скаляр

додатний.

Формули (1), (6) є окремими випадками відображення

з (12). Очевидно, що відображення (1) для детермінованої задачі випливає з (12), якщо множина складається з єдиного елемента, а відображення (6) (для стохастичної задачі зі зліченним простором збурень) відповідає випадку, коли множина зліченна, а є -алгеброю, складеною із всіх підмножин .

Очевидно, що відображення

з (12) задовольняє припущенню монотонності. Якщо на множини , і функції , і накласти вимоги вимірності, то витрати за кроків можна визначити в термінах звичайного інтегрування для будь-якої стратегії , для якої функції , вимірні.

Для початкового стану

і стратегії ймовірнісні міри

, ...,

у сукупності із системою рівнянь

, (18)

визначають єдину міру

на -кратному прямому добутку копій простору . У випадку, якщо , , і виконується одна з умов

або

,