Анализ системы управления Общежитие (стр. 3 из 5)

3. Анализ числовых характеристик СУ «Общежитие»

Для сравнения структурных свойств различных графов определяют их числовые характеристики (инварианты), которые выражаются числами или системами чисел, характеризуют определенные свойства и являются одинаковыми для изоморфных графов. Простейшими инвариантами графа являются числа его вершин n и дуг m. Ниже будут рассмотрены более сложные числовые характеристики ГСУ и их интерпретация.

3.1 Степень (полустепень) вершины

Полустепенью исхода вершины орграфа называется число инцидентных дуг, выходящих из вершины, а полустепенью захода — число инцидентных дуг, заходящих в вершину. Для определения данной числовой характеристики используется матрица смежностей (рисунок 2.2), в которой сумма элементов строки равна полустепени исхода соответствующей вершины, а сумма элементов столбца – полустепени захода.

Данные характеристики вычисляются по формулам:

,

,

где

и - полустепени исхода и захода вершин i и j соответственно;

n - число вершин орграфа;

— элемент матрицы смежностей A.

Степень

вершины i определяется как общее число дуг, инцидентных данной вершине, т.е. сложением полустепеней захода и исхода вершин:

Полустепени исхода и захода вершин для данного графа представлены
в таблице 3.1.

Таблица 3.1

Вершины	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
	2	1	1	2	4	2	1	1	2	1	1	1	2	1	1
	0	0	0	3	10	2	0	1	0	6	0	1	0	0	0
	2	1	1	5	14	4	1	2	2	7	1	2	2	1	1

Вывод: по данной числовой характеристике наиболее загруженным элементом СУ «Общежитие» является «Комендант», т.е. вершина 5.

3.2 Число контуров

Контуры управления определяют наиболее устойчивые, охваченные обратной связью, функциональные подструктуры СУ. С увеличением количества дуг ГСУ число основных контуров увеличивается, однако значительное увеличение числа основных контуров может привести к таким неприятным последствиям как, например, уменьшение степени централизации управления в структуре, т.е. к снижению эффективности управления. Поэтому на практике полезно исследовать матрицу основных контуров ГСУ (рисунок 2.5), которая отражает свойства системы всех контуров.

Вывод: ГСУ «Общежитие» содержит 9 основных контуров, причем контуры, определяемые хордами 45;510;512;56;68 являются тривиальными и состоят только из двух дуг. Рассматриваемый ГСУ содержит также 4 линейно зависимых контура.

3.3 Длины путей

Длина пути между парой вершин в ГСУ характеризует длину канала управления между соответствующими элементами СУ. С увеличением длины канала управления увеличивается вероятность искажения передаваемой информации и уменьшается надежность СУ. Длина пути между вершинами в ГСУ измеряется числом дуг, составляющих путь. Для характеристики множества путей в графе используются матрицы расстояний R, достижимостей D и обходов S ГСУ.

Анализ матрицы расстояний R ГСУ «Общежитие» (рисунок 2.6) показывает, что максимальную длину 5 имеет путь между вершинами 7 и 5, т.е. каналы управления между заместителем по обслуживающим работам и комендантом. Следовательно, между этими отделами существует вероятность искажения информации.

Анализ матрицы достижимостей D ГСУ «Общежитие» (рисунок 2.7) показывает, что не все вершины ГСУ являются взаимно достижимыми (в матрице D есть элементы равные нулю), то есть ГСУ в данном случае является слабо связным орграфом, что не является положительной характеристикой структурных свойств СУ.

Из анализа матрицы обходов S ГСУ «Общежитие» (рисунок 2.8) следует, что наиболее длинный путь между любой парой вершин в графе не превышает 5.

3.4 Диаметр и ширина графа

Диаметр орграфа L определяется как наибольшая длина кратчайшего простого пути в графе. Диаметр ГСУ характеризует подмножество пар элементов СУ, находящихся на самом большом расстоянии друг от друга, т.е. пар элементов, связанных каналом управления наибольшей длины. Таким образом, диаметр ГСУ определяет подмножество структурно критических по длине канала управления пар элементов СУ. Диаметр ГСУ можно определить как наибольший элемент матрицы расстояний R, например, диаметр ГСУ «Общежитие» определяется выражением L=5.

Ширина орграфа H определяется как длина максимальной антицепи, т.е. упорядоченной последовательности попарно несмежных вершин (длина антицепи на единицу меньше числа ее элементов). Ширина ГСУ «Общежитие» определяется длиной максимальной антицепи >1,2,11,13,15,14,8,12,7,3,9<, она является самой длинной по сравнению с другими: >1,5,11,2< или >10,7,12,6,14,3,15,9<

Вывод: L=5, H=10.

3.5 Характеристический многочлен

Характеристический многочлен

ГСУ определяется символическим выражением:

,

где a_i - число вершин со степенью, равной i;

x - символическая (формальная) переменная;

i - степень вершины ГСУ.

Характеристический многочлен

представляет достаточно легко вычислимый инвариант графа, который позволяет сравнивать свойства различных ГСУ по числу и степеням вершин.

Характеристический многочлен ГСУ «Общежитие» выглядит следующим образом

.

4. Топологическая декомпозиция структур объекта

Сильно связный подграф представляет собой подграф ГСУ, в котором любая пара вершин взаимно достижима. Максимальный сильно связный подграф образует сильно связную (сильную) компоненту ГСУ, которая определяет подструктуру СУ, обладающую в определенном смысле лучшими структурными свойствами по управлению. ГСУ может содержать несколько сильных компонент, которые выделяются с помощью алгоритма топологической декомпозиции структуры.

Для определения количества сильных компонент нужно построить транспонированную матрицу и матрицу Адамара.

Транспонированная матрица - матрица, получающаяся из матрицы достижимостей D после замены строк, соответствующими столбцами. Данная матрица обозначается DT.

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
1	1
2	1
3	1
4	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
5	1
6	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
7	1
8	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
9	1
10	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
11	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
12	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
13	1
14	1
15	1

Рисунок 4.1 – Транспонированная матрица D^Т