Вычисление площадей эпюр с использованием численных методов (стр. 2 из 2)
Очень часто применяют формулы для приближённого вычисления интегралов.
Такие формулы называют квадратурными формулами или формулами численного интегрирования.
Идея численного метода заключается в замене криволинейной трапеции фигурой, площадь, которой вычисляется достаточно просто.
2.1 Квадратурные формулы прямоугольников
Отрезок интегрирования [а;b] разбиваем на п равных отрезков и получаем п+1 равноудаленных точек: х0=а, хп=b, хi+1=xi+h, i=(0,1,2…,
п-1), где h шаг разбивки. При этом обозначим уi=f(хi).
Площадь каждой элементарной криволинейной трапеции заменим площадью прямоугольника с основанием h и высотой
, где 
, i=0,1,2,…,п+1.Существует несколько формул прямоугольников: «левых» (входящих), «правых» (выходящих) и «средних».
В нашем случае рассмотрим подробнее формулу «средних» прямоугольников, когда
.Произведём разбивку для n=5 и n=10:
| a= | 3,0000 | Численное интегрирование | |||
| b= | 3,5265 | n= | 5 | J=  | |
| h= | 0,1053 | ||||
| Номер | Значение | f(x) | Метод | ||
| узла | узла | ср.прямоуг | |||
| 1 | 3,0000 | -8,8159 | 0,0000 | ||
| 2 | 3,1053 | -7,6040 | -0,9228 | ||
| 3 | 3,2106 | -6,1456 | -1,7179 | ||
| 4 | 3,3159 | -4,4131 | -2,3595 | ||
| 5 | 3,4212 | -2,3759 | -2,8187 | ||
| 6 | 3,5265 | 0,0000 | -3,0633 | ||
| a= | 3,0000 | ||||
| b= | 3,5265 | n= | 10 | ||
| h= | 0,0527 | ||||
| Номер | Значение | f(x) | Метод | ||
| узла | узла | ср.прямоуг | |||
| 1 | 3,0000 | -8,8159 | 0,0000 | ||
| 2 | 3,0527 | -8,2391 | -0,4628 | ||
| 3 | 3,1053 | -7,6040 | -0,8952 | ||
| 4 | 3,1580 | -6,9073 | -1,2941 | ||
| 5 | 3,2106 | -6,1456 | -1,6564 | ||
| 6 | 3,2633 | -5,3154 | -1,9786 | ||
| 7 | 3,3159 | -4,4131 | -2,2571 | ||
| 8 | 3,3686 | -3,4346 | -2,4880 | ||
| 9 | 3,4212 | -2,3759 | -2,6675 | ||
| 10 | 3,4739 | -1,2325 | -2,7912 | ||
| 11 | 3,5265 | 0,0000 | -2,8547 | ||
| a= | 3,5265 | Численное интегрирование | |||
| b= | 4,0000 | n= | 5 | J=  | |
| h= | 0,0947 | ||||
| Номер | Значение | f(x) | Метод | ||
| узла | узла | ср.прямоуг | |||
| 1 | 3,5265 | 0,0000 | 0,0000 | ||
| 2 | 3,6212 | 2,4572 | 0,0045 | ||
| 3 | 3,7159 | 5,2492 | 0,2417 | ||
| 4 | 3,8106 | 8,4093 | 0,7433 | ||
| 5 | 3,9053 | 11,9743 | 1,5441 | ||
| 6 | 4,0000 | 15,9844 | 2,6825 | ||
| a= | 3,5265 | ||||
| b= | 4,0000 | n= | 10 | ||
| h= | 0,0474 | ||||
| Номер | Значение | f(x) | Метод | ||
| узла | узла | ср.прямоуг | |||
| 1 | 3,5265 | 0,0000 | 0,0000 | ||
| 2 | 3,5739 | 1,1887 | 0,0011 | ||
| 3 | 3,6212 | 2,4572 | 0,0585 | ||
| 4 | 3,6686 | 3,8093 | 0,1760 | ||
| 5 | 3,7159 | 5,2492 | 0,3575 | ||
| 6 | 3,7633 | 6,7810 | 0,6072 | ||
| 7 | 3,8106 | 8,4093 | 0,9294 | ||
| 8 | 3,8580 | 10,1388 | 1,3287 | ||
| 9 | 3,9053 | 11,9743 | 1,8099 | ||
| 10 | 3,9527 | 13,9211 | 2,3780 | ||
| 11 | 4,0000 | 15,9844 | 3,0382 | ||