. (15)

Связь между переходной и весовой функцией имеет вид:

. (16)

Методы определения временных характеристик

Существуют различные методы расчета переходных процессов, при этом наиболее часто используются следующие методы:

1. Классический метод.

2. Операторный метод, использующий разложение на простые дроби.

3. Операторный метод, использующий вычеты.

Метод аналогового и цифрового моделирования.

5. Метод трапеций.

Рассмотрим некоторые методы определения временных характеристик на конкретных примерах.

Классический метод расчета временных характеристик

Классический метод расчета временных характеристик основан на решении дифференциальных уравнений.

Пример 1. Пусть дана передаточная функция:

Определить: переходную функцию – h(t) и функцию веса – k(t).

Решение

1. Запишем дифференциальное уравнение в соответствии с заданной передаточной функцией

При единичном воздействии, т.е. x(t)=1(t) дифференциальное уравнение имеет вид

2. Общее решение неоднородного дифференциального уравнения состоит из свободной и вынужденной составляющей

3. Переходная функция может быть определена из соотношения

При нулевых начальных условиях

При этом выражения для переходной функции и функции веса имеют вид:

Метод разложение на простые дроби

Рассмотрим алгоритм использования метода на предыдущем примере. Определим функцию веса для заданной системы.

Исходную передаточную функцию можно представить в виде:

Значения параметров А и В находим методом неопределенных коэффициентов

Функция веса равна:

Определим переходную функцию.

Изображение переходной функции можно представить в виде:

Значения параметров А, В и С находим методом неопределенных коэффициентов.

Переходная функция равна:

Определение временных характеристик с использованием вычетов

Рассмотрим алгоритм использования метода на предыдущем примере. Определим функцию веса для заданной выше системы. В соответствии с теоремой разложения:

если

где

то

Таким образом, используя теорему Коши о вычетах, оригинал можно определить как сумму вычетов по полюсам подынтегральной функции.

Рассмотрим изображение переходной функции:

Запишем характеристическое уравнение, определим значения полюсов их количество и кратность

При этом переходную функцию определяем, используя вычеты по полюсам подынтегральной функции

Функция веса определяем аналогично, либо через производную от переходной функции

2.3 Частотные характеристики САУ

Частотные характеристики определяются, как реакция системы на гармоническое типовое воздействие при нулевых начальных условиях.

Пусть задана система (рис. 7) с передаточной функцией K(p).

Рис. 7

При подаче на вход системы гармонического воздействия

, (17)

на выходе получим

(18)

Если использовать формулы Эйлера, эти соотношения можно представить в комплексном виде:

(19)

Если выполнить подстановку p = jw в передаточной функции системы, то получим комплексную передаточную функцию

(20)

При изменении частоты 0£w£+¥ получим следующие частотные характеристики:

АФХ – амплитудно-фазовая частотная характеристика;

ВЧХ – вещественная частотная характеристика;

МЧХ – мнимая частотная характеристика;

АЧХ – амплитудно-частотная характеристика;

ФЧХ – фазовая частотная характеристика.

Частотные характеристики могут быть выражены через коэффициенты полиномов передаточной функции

(21)

Графически характеристики можно представить в виде рис. 8а.

Связь между временными и частотными характеристиками.

Рассмотрим связь между частотными характеристиками и переходной функцией системы (рис. 8б).

а) б)

Рис. 8

Для выходной величины можно записать

.

Используя преобразование Фурье, получим выражение для переходной функции

(22)

Подставив эти выражения в формулу для h(t) и выполнив преобразования, получим связь между переходной функцией и ВЧХ:

(23)

Логарифмические частотные характеристики САУ

Исследование систем существенно упрощается при использовании не обычных, а логарифмических частотных характеристик. При этом натуральная логарифмическая амплитудная и фазовая частотные характеристики определяются из соотношений

. (24)

На практике обычно используют десятичные логарифмы. При этом логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ) строится в логарифмическом масштабе частот и определяется соотношением

Единицей измерения ЛАЧХ является децибел (дБ), 1дБ = 1/10 [Бел].

Так как 1 Бел соответствует увеличению мощности в 10 раз, то

(25)

Амплитуда сигнала откладывается по оси ординат (рис. 9а), при этом ось абсцисс соответствует значению амплитуды равной единице, верхняя полуплоскость соответствует усилению сигнала (A > 1), а нижняя – ослаблению (A < 1).

Логарифмическая фазовая частотная характеристика (ЛФЧХ) строится в логарифмическом масштабе частот, при этом частоты откладываются по оси абсцисс по декадам (рис. 9б). Декада – отрезок, на котором частота увеличивается в десять раз.

а) б)

Рис. 9

Начало оси координат, в зависимости от диапазона частот, на котором строится логарифмическая характеристика, может быть помещено в любую точку (w = 0,01; w = 0,1; w = 1 и т.д.).

Логарифмические характеристики имеют ряд преимуществ перед обычными частотными характеристиками. Основным преимуществом логарифмических характеристик является возможность оценки влияния отдельных параметров системы без необходимости повторного проведения расчета.

Литература

1. Автоматизированное проектирование систем автоматического управления. / Под ред. В.В. Солодовникова. – М.: Машиностроение, 1990. -332 с.

2. Бойко Н.П., Стеклов В.К. Системы автоматического управления на базе микро-ЭВМ. – К.: Тэхника, 1989. –182 с.

3. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов «Теория систем автоматического управления». Профессия, 2003 г. – 752 с.

4. Воронов А.А., Основы теории автоматического управления, ч. 3, М. – Л., 1970.

5. Гринченко А.Г. Теория автоматического управления: Учебн. пособие. – Харьков: ХГПУ, 2000. –272 с.

6. Емельянов С.В., Системы автоматического управления с переменной структурой, М., 1967.

7. Макаров И.М., Менский Б.М. Линейные автоматические системы. - М.: Машиностроение, 1982.

8. Справочник по теории автоматического управления. / Под ред. А.А. Красовского – М.: Наука, 1987. – 712 с.

Характеристики систем автоматического управления (стр. 2 из 2)