Обработка опытных данных методом МНК (стр. 2 из 3)
Прологарифмируем равенство (6) :
(7)приняв обозначения
перепишем (7) в виде: 
(8)Таким образом приближающая показательная функция нехитрыми преобразованиями сведена к линейной, следовательно, для определения коэффициентов
и 
показательной функции можно воспользоваться выведенной для линейной функции формулой 
(9)Итак, для нахождения приближающей функции в виде (6) нужно прологарифмировать значения функции в исходной таблице 1 и, рассматривая их совместно с исходными значениями аргумента, построить для новой таблицы 3 приближающую функцию вида (8).
Таблица 1 Таблица 3
 |  |
Окончательно получаем:
(9) 
Рисунок 3 – График логарифмической функции
Замечание: формулам
(10) 
(11)соответствуют кривые, изображенные на рисунках 1 и 2, сдвинутые вверх или вниз на величину
. Например, кривая, изображенная на рисунке 3, соответствует формуле 
при 
и 
Чтобы найти параметры этих формул, следует сначала определить значение 
Иногда величину можно легко найти по значению, к которому стремится 
при возрастании 
(при 
) или по значению при 
(для формулы 10 при 
). Можно также воспользоваться формулой 
где
и 
— ординаты произвольных (но достаточно далеких) точек с абсциссами 
, 
, а ордината 
соответствует абсциссе 
в случае формулы (10) и абсциссе 
в случае формулы (11).3.3. Логарифмическая функция
Будем искать приближающую функцию в виде
(12) Для перехода к линейной функции достаточно выполнить подстановку 
Отсюда следует, что для нахождения значений aи b нужно прологарифмировать значения аргумента в исходной таблице 1 и для новой таблицы 4 найти приближающую функцию в виде линейной y=at+b. Коэффициенты a и b найденной функции подставить в формулу 2.14.
| |  |
| Таблица 4 | Таблица 5 |
Окончательно получим:
(13)
Рисунок 4 График логарифмической функции
4. Метод наименьших квадратов
Запишем сумму квадратов отклонений для всех точек х0, х1,…,хm
(3)Параметры а0, а1,…,аm эмпирической формулы будем находить из условия минимума функции S= S(а0, а1,…,аm). В этом состоит метод наименьших квадратов.
В теории вероятностей доказывается, что полученные таким методом значения параметров наиболее вероятны.
Поскольку здесь параметры а0, а1,…,аm выступают в роли независимых переменных функции S, то ее минимум найдем, приравнивая нулю частные производные по этим переменным:
(4)
Полученные соотношения – система уравнений для определения параметров а0, а1,…,аm
Рассмотрим применение метода наименьших квадратов для частного случая, широко используемого на практике. В качестве эмпирической функции рассмотрим многочлен:
φ(х)= а0+а1х+ а2х2+…+ аmхm (5)
Формула (9) для определения суммы квадратов отклонений S примет вид
(6)Для составления уравнений (4) найдем частные производные функции S= S(а0, а1,…,аm):
Приравнивая эти выражения нулю в соответствии с уравнениями (4) и собирая коэффициенты при неизвестных а0, а1,…,аm получаем следующую систему уравнений:
………………………………………….
Решая эту систему линейных уравнений, получаем коэффициенты
а0, а1,…,аm многочлена (5), которые являются искомыми параметрами эмпирической формулы.
5. БЛОК-СХЕМА решения задач
 |
6 .Решение задачи в MathCAD
Для решения поставленной задачи необходимо подобрать эмпирическую формулу такую, которая наилучшим образом отражала бы заданное экспериментальное распределение точек (таблица исходных данных). Для этого воспользуемся графическими возможностями программы MathCad.
На рис.4 представлено точечное распределение экспериментальных данных, задания курсовой работы.
 |
 |
 |
Рисунок 4 – Распределение точек
С помощью программы Mathcadподберем функцию, максимально близко проходящую к данным точкам, либо проходящую через них. Т.е. определим функциональную зависимость yот х. Для этого воспользуемся методом перебора возможных вариантов: сначала оценим погрешность аппроксимации линейной, степенной и логарифмической функций. Оптимальной будем считать ту аппроксимирующую функцию, которая позволяет достичь минимального среднеквадратического отклонения
Рассмотрим линейную функцию
 |
Для того, чтобы провести график данной функции и оценить погрешность аппроксимации, необходимо найти коэффициенты aи b. Воспользуемся встроенными
| Аппроксимация прямой |
 |
 |
 |
| аппроксимирующая функция |
 |
 |
 |
 |
 |
Рисунок 5 – Линейная функция