Практикум по решению линейных задач математического программирования (стр. 7 из 11)
, 
.3) Применение теорем двойственности к анализу оптимальных решений пары симметричных двойственных задач
Рассмотрим следующую задачу. Предприятие планирует выпускать 3 вида продукции – П1, П2, П3. Для этого оно располагает объемами ресурсов 3-х видов Р1, Р2, Р3. Затраты каждого ресурса на изготовление единицы продукции и цена единицы продукции приведены в таблице:
| ПjРi | П1 | П2 | П3 | Объем  |
| Р1 | 4 | 2 | 1 | 180 |
| Р2 | 3 | 1 | 1 | 210 |
| Р3 | 1 | 2 | 5 | 244 |
Цена  | 10 | 14 | 12 |
Требуется:
1) построить модель исходной и двойственной задач;
2) решить исходную задачу симплексным методом;
3) найти оптимальное решение двойственной задачи, используя проверочную строку последней симплексной таблицы;
4) дать экономический анализ основным и дополнительным переменным оптимальных решений обеих задач;
5) в ответе записать оптимальные решения обеих задач и значения их целевых функций; указать наиболее дефицитный ресурс и наиболее убыточный вид продукции.
Решение. 1. Построим модель исходной задачи
, 
.Здесь х1, х 2, х3 – план выпуска продукции.
Составим математическую модель двойственной задачи:
, 
.2. Решим исходную задачу симплексным методом.
Запишем ее канонический вид:
, 
. 
х4, х5, х6 – дополнительные и они же базисные переменные. Начальный опорный план 
(0; 0; 0; 180; 210; 244). | Базис |  | В | 10 | 14 | 12 | 0 | 0 | 0 |  |
 |  |  |  |  |  | ||||
| | 0 | 180 | 4 | 2 | 1 | 1 | 0 | 0 | 90 |
| | 0 | 210 | 3 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 210 |
| | 0 | 244 | 1 | 2 | 5 | 0 | 0 | 1 | 122 |
 | 0 | –10 | –14 | –12 | 0 | 0 | 0 | таб. 1 | |
| Базис | | В | 10 | 14 | 12 | 0 | 0 | 0 | |
| | | | | | | ||||
| | 14 | 90 | 2 | 1 | 0,5 | 0,5 | 0 | 0 | 180 |
| | 0 | 120 | 1 | 0 | 0,5 | –0,5 | 1 | 0 | 240 |
| | 0 | 64 | –3 | 0 | 4 | –1 | 0 | 1 | 16 |
| | 1260 | 18 | 0 | –5 | 7 | 0 | 0 | таб. 2 | |
| | 14 | 82 | 2,375 | 1 | 0 | 0,625 | 0 | –0,125 | |
| | 0 | 80 | 1,375 | 0 | 0 | 0,125 | 1 | –0,625 | |
| | 12 | 16 | –0,75 | 0 | 1 | –0,25 | 0 | 0,25 | |
| | 1340 | 14,25 | 0 | 0 | 5,75 | 0 | 1,25 | таб. 3 | |
 |  |  |  |  |  | ||||
Так как все оценки
, то получен оптимальный план: 
= (0; 82; 16; 0; 80; 0); 
= 1340.3. Найдем оптимальное решение двойственной задачи, используя последнюю проверочную строку симплексной таблицы и соотношение между переменными прямой и двойственной задач.
 основныепеременные | дополнительные переменные | ||||
| | | | | | |
 |  |  |  |  |  |
| дополнительные переменные | основные переменные | ||||
Откуда:
5,75; 
0; 
1,25; 
14,25; 
0; 
0. 
= (5,75; 0; 1,25; 14,25; 0; 0); 
1340.Таким образом получили =
1340.