Система распознавания объектов в миллиметровом диапазоне радиоволн (стр. 4 из 23)
то есть интеграл от функции p(t, f), взятый по частоте, определяет мощность (энергию) сигнала в данный момент времени.
(1.15)то есть интеграл от функции p(t,f), взятый по времени, определяет спектральную плотность энергии на частоте f. Другие определения МС по Рихачеку, по Пейнджу, тесно связанные с функцией неопределенности, широко применяемой в импульсной радиолокации, можно найти в [11].
Проведем сравнение объема необходимых вычислений согласно (1.11) и (1.15). Предположим, что сигнал, значения амплитуды которого заданы в N точках, разбивается на k интервалов по N1 точек в каждом. Для вычисления спектра по (1.11), как правило, используется алгоритм БПФ [11]. Количество арифметических операций, при выполнении БПФ на N1 точках составляет N1log2N1. Для нахождения МС по (1.14) необходимо провести вычисление автокорреляционной функции в N1 точках согласно (1.12). Вычисление одного значения автокорреляционной функции требует выполнения N1 операции умножения и N1 операции сложения. Следовательно, с учетом симметрии автокорреляционной функции, вычисление N1, ее значений требует
операций, последующее вычисление БПФ составляет 
операций [12]. Таким образом, проведенная оценка свидетельствует, что первый способ требует меньшего количества арифметических операций, поэтому в дальнейшем для оценки мгновенных спектров используется (1.11).Как очевидно, определение закона изменения частоты PC во времени будет тем более точным, чем меньше длительность интервала, на котором производится анализ PC. Уменьшение длины интервала, в свою очередь, проявляет основную проблему, стоящую перед цифровым спектральным анализом получение робастных оценок спектра и высокого частотного разрешения для последовательностей данных конечной (особенно малой) длительности. Два эквивалентных подхода к нахождению спектральной плотности мощности, основанных как на прямом ее вычислении по исходной последовательности данных (1.10), так и на Фурье–преобразовании автокорреляционной последовательности (1.11), позволяют оценить выборочные спектры, которые оказываются статистически несостоятельными, так как среднеквадратичная ошибка этих оценок сравнима по величине со средним значением оценки [11]. Поиски способов устранения отмеченного недостатка, активно проводившиеся в последнее десятилетие, привели к развитию нескольких методов спектрального оценивания, основанных на различных математических подходах: классических, параметрических, непараметрических.
К классическим методам относятся методы, основанные на прямом преобразовании Фурье данных с последующим усреднением по нескольким спектрам (периодограммные) и методы, основанные на оценке усредненной автокорреляционной последовательности исходных данных, получаемой Фурье–преобразованием (коррелограммные). При использовании классических методов оценивания спектра приходится принимать множество компромиссных решений с целью получения робастных спектральных оценок с максимально возможным разрешением. К таким решениям относятся выбор соответствующих функций окна для взвешивания данных и корреляционных функций и параметров усреднения во временной и частотной областях [19]. Устойчивые результаты и хорошая точность, под которыми понимаются малые спектральные флюктуации и незначительное смещение вычисленных значений спектра относительно его истинных значений на всех частотах, достигаются для сигналов, удовлетворяющих условию
>>1,где Т – время регистрации, В – разрешение по частоте [12]. Эти компромиссы теоретически обоснованы лишь для гауссовых случайных процессов. Рекомендации по выбору того или иного метода спектрального оценивания и функции окна в случае негауссовых случайных процессов, а также сигналов со сложным законом изменения частоты, к которым относится PC, получаемые при внутри–ствольных измерениях, отсутствуют. Подробную обширную информацию по классическим методам спектрального оценивания можно найти в [17–19,13–16]. Использование периодограммных и коррелограммных методов (понимаемых в смысле [17] для вычисления мгновенных спектров частотно–модулированных сигналов, к которым относятся PC, и возможности восстановления с их помощью закона изменения частоты сигнала, нам неизвестны. Отметим, что понятия периодиограммных и коррелограммных методов, применяемых нами для оценивания мгновенных спектров сигнала, созвучны с названиями корреляционных и ковариационных методов, используемых в работе [18], для спектрального оценивания на основе решетчатой структуры. Однако, суть их принципиально различна, так как в [18] они применяются только для оценивания корреляционной матрицы, использующейся в дальнейшем в параметрических методах спектрального оценивания (см. ниже), но не спектра сигнала.
Получение более точных оценок спектральных характеристик сигнала (по сравнению с достигаемыми с помощью классических методов) потенциально возможно при использовании параметрических методов. В данных методах исходная временная последовательность рассматривается как выходная последовательность каузального фильтра, на вход которого подается возбуждающая последовательность [16]. Модель временного ряда, пригодная для аппроксимации большинства детерминированных и стохастических сигналов с дискретным временем, описывается как
(1.16)где u[n] – последовательность на выходе каузального фильтра, y[n] – входная возбуждающая последовательность, h[k] – передаточная функция фильтра.
В зависимости от условий, накладываемых на коэффициенты, входящие в модель цифрового ряда, получают различные параметрические модели. Модель (1.16) в предположении, что последовательность у[п] является белым шумом имеет название модель авторегрессии – скользящего среднего (АРСС), здесь коэффициенты a[k] характеризуют авторегрессионую часть этой модели, а параметры b[k] – ее часть, соответствующую скользящему среднему. Если все коэффициенты a[k], называемые авторегрессиоными параметрами (АР–параметрами), за исключением а[0] равного единице, положить равными нулю, то тогда модель временного ряда принимает вид:
(1.17)модель становится строго процессом скользящего среднего порядка q (CC(q) –процессом).
Если все коэффициенты b[k], называемые параметрами скользящего среднего (СС – параметры), положить равными нулю, тогда модель временного ряда принимает вид:
(1.18)модель становится чисто авторегрессионой моделью (АР–модель). Величины р и q – называются параметрами модели APCC(p,q) (р – параметр авторегрессионной модели, q – параметр скользящего среднего).
Из теории линейных систем [134] известна связь между линейной импульсной характеристикой h[k] и коэффициентами a[k], b[k], выражаемая через Z–преобразование. Последовательностям h[k], a[k], b[k] ставятся в соответствие функции H(z) (дискретная системная функция фильтра [32]), A(z), B(z) (Z– преобразование последовательностей a[k], b[k]), между которыми существует следующая связь
, (1.19)где A(z), B(z), H(z) определяются как
(1.20) 
(1.21) 
(1.22)здесь z – произвольное комплексное число.
Условием устойчивости данного каузального минимально–фазового фильтра является нахождение нулей полиномов A(z), B(z) внутри единичной окружности в Z–плоскости. Z–преобразование выходной автокорреляционной последовательности u[n] – Puu (z) и Z–преобразование входной автокорреляционной последовательности случайного процесса y[n] – Pyy (z) связаны следующим соотношением [5]
, (1.23)где знак * означает комплексное сопряжение.
Предполагая, что входная последовательность является белым шумом с нулевым средним и дисперсией pw, так что pui^Pw, выражение (1.17) принимает вид:
й(1.24)Спектральную плотность мощности для АРСС(р,о)–модели получают из (1.24) заменой z
, которую масштабируют на длительность интервала Т 
(1.25)где полиномы A(f), B(f) определяются выражениями:
(1.26) 
(1.27)векторы комплексных синусоид е (f),e (f) и векторы параметров a, b имеют вид:
(1.28)знак Н означает операцию эрмитова сопряжения.
Полагая в (1.28) р равным нулю, получаем выражение для спектральной плотности мощности CC(q) – npoцecca
(1.29)