Інтегрування Нютона-Котеса (стр. 1 из 4)

ЗМІСТ

Вступ

1. Теоретична частина

1.1 Постановка задачі

1.2 Методи розв'язування задачі

2. Практична частина

2.1 Архітектура програми

2.2 Опис програми

2.3 Контрольний приклад та аналіз результатів машинного експерименту

Висновки

Список використаної літератури

ДОДАТКИ

Вступ

Центральним поняттям програмування є, безперечно, поняття алгоритму. З нього починається робота над програмою і від якості алгоритму залежить її успішне створення. Тому вміння програмувати в значній мірі означає розробляти хороші алгоритми і застосовувати вже відомі.

На сьогодні існує велика кількість різноманітних мов програмування, кожна з яких має свої певні переваги та недоліки. В цьому розмаїтті не завжди легко зробити свій вибір на користь якоїсь певної мови програмування.

Для реалізації поставленої задачі вибрано середовище Turbo Pascal. Алгоритмічна мова Паскаль була створена Н.Віртом на початку 70-х років. Завдяки зусиллям розробників ця мова програмування стала потужним інструментом професійних програмістів‚ не втративши простоти і ясності, властивих цій мові від народження.

Розробник системи Turbo Pascal - фірма Borland International виникла в 1984 році і за порівняно короткий час неодноразово дивувала користувачів персональних ЕОМ своїми Turbo системами. Було випущено кілька версій Turbo Pascal: 3.0‚ 4.0‚ 5.0‚ 5.5‚ 6.0‚ 7.0‚ Pascal for Windows, Borland Pascal.

Головні особливості середовища Turbo Pascal:

- широкий спектр типів даних‚ можливість обробки рядкових та структурних типів даних;

- достатній набір операторів управління розгалуженнями та циклами;

- добре розвинутий апарат підпрограм та зручні конструкції роботи з файлами;

- великі можливості управління усіма ресурсами ПЕОМ;

- різноманітні варіанти стикування з мовою Асемблера;

- підтримка ідей об'єктно-орієнтованого програмування (ООП).

Саме з огляду на ці особливості програмна реалізація курсового проекту було здійснено в середовищі Turbo Pascal.

Розробник системи програмування Turbo Pascal - фірма Borland International виникла в 1984 році і за порівняно короткий час неодноразово дивувала користувачів персональних ЕОМ своїми Turbo системами. Було випущено на ринок програмних продуктів декілька версій Turbo Pascal: 3.0, 4.0, 5.0, 5.5, 6.0, 7.0, Pascal for Windows, Borland Pascal.

Курсовий проект складається зі вступу, двох розділів, висновків, списку використаної літератури, графічної частини та додатків. Текст пояснювальної записки набрано та роздруковано з використанням текстового редактора Word. Графічна частина виконана з допомогою графічного редактора Visio.

1. Теоретична частина

1.1 Постановка задачі

В задачах‚ пов'язаних з аналізом‚ ідентифікацією‚ оцінкою якості‚ моделюванням різноманітних пристроїв автоматики‚ керування‚ інформаційно-вимірювальної техніки‚ радіоелектроніки‚ часто виникає необхідність обчислення визначених інтегралів.

Якщо функція

неперервна на відрізку і відома її первинна функція ‚ то визначений інтеграл від цієї функції в межах від a до b може бути обчисленим за формулою Ньютона-Лейбніца

(1)

Однак у більшості випадків обчислення інтегралу за формулою (1) є практично неможливим через складність аналітичного визначення первісної функції. В поширеній задачі‚ коли підінтегральна функція задається таблично (масивом значень)‚ поняття первісної втрачає смисл‚ і інтеграл може бути обчисленим лише чисельно.

Задача чисельного інтегрування функції полягає в обчисленні значення визначеного інтегралу на основі ряду значень підінтегральної функції. Графічно інтеграл визначається площею‚ яка обмежена графіком функції

.

Найчастіше на використовуються на практиці і є найбільш відомими наступні методи знаходження визначених інтегралів:

- методи Ньютона-Котеса‚ Гауса‚ Чебишева‚ що базуються на так званих квадратурних формулах‚ які одержуються шляхом заміни функції

інтерполяційними многочленами;

- методи Монте-Карло‚ що базуються на використанні статистичних моделей.

1.2 Методи розв'язування задачі

Формули Ньютона-Котеса. Для виведення формул Ньютона-Котеса інтеграл (1) представляють у вигляді

‚ (2)

де

- вузли інтерполяції‚ - коефіцієнти‚ залежні від виду формули‚ - погрішність квадратурної формули.

Здійснивши в (2) заміну підінтегральної функції відповідним інтерполяційним многочленом Лагранжа для

рівновіддалених вузлів з кроком ‚ можна отримати наступну формулу для розрахунку коефіцієнтів при довільній кількості вузлів

(3)

де

- приведена змінна.

Зазвичай‚ коефіцієнти

називають коефіцієнтами Котеса. При цьому формула (3) набуває такого вигляду

. (4)

В таблиці 1 наводяться значення коефіцієнтів Котеса та оцінки погрішностей для значень

від 1 до 8. Оскільки коефіцієнти Котеса при великій кількості ординат є доволі складними‚ то на практиці для наближеного обчислення визначених інтегралів розбивають проміжок інтегрування на велику кількість дрібних проміжків і до кожного з них застосовують квадратурну формулу Ньютона-Котеса з малим числом ординат. Таким чином‚ отримуються формули більш простої структури‚ точність яких може бути довільно високою.

Таблиця 1. Коефіцієнти Котеса.

1	1	1								2
2	1	4	1							6
3	1	3	3	1						8
4	7	32	12	32	7					90
5	19	75	50	50	75	19				288
6	41	216	27	272	27	216	41			840
7	751	3577	1223	2989	2989	3577	3577	751		17280
8	989	5888	-928	10496	-4540	-928	-928	5888	989	28350

Наприклад‚ отримані таким чином формули прямокутників‚ трапецій і Сімпсона (парабол) мають вигляд

(5)

(6)

.(7)

При обчисленні визначених інтегралів слід враховувати похибку знаходження значень

. Якщо ‚ наприклад‚ будуть задані з однаковою похибкою ‚ то сумарна похибка становитиме

.

Якщо використання формул оцінки похибки пов'язано з труднощами‚ обумовленими необхідністю знаходження похідних вищих порядків (четвертого‚ а навіть і п'ятого)‚ то можна використовувати практичний метод екстраполяції Річардсона [1].