Исследование линейных систем управления (стр. 1 из 5)
КУРСОВАЯ РАБОТА
«Исследование линейных систем управления»
Дисциплина «Теория автоматического управления»
Пенза, 2007 г.
Введение
Мир технических систем разнообразен. Однако математика и физика выявили в нем простые параллели. Можно выделить ряд энергетических доменов, которым принадлежат те или другие системы или их модули. Это электрический, магнитный, тепловой, гидравлический, акустический, механический и ротационный домены. Так же существуют два фундаментальных постулата. Первый постулат гласит, что материя не может появиться ни откуда и не может исчезнуть в никуда. Второй постулат утверждает то же самое в отношении энергетического потенциала. Эти постулаты имеют частные формулировки для каждого энергетического домена. Например, для электрического домена это первый и второй законы Кирхгофа. Каждый из энергетических доменов характеризуется двумя физическими величинами первого и второго рода. В случае электрического домена – это электрические ток и напряжение соответственно. Эти парные физические величины, в каждом энергетическом домене, связаны между собой законом Ома в соответствующей формулировке (существуют: электрическое, магнитное, тепловое, гидравлическое, акустическое, механическое и ротационное сопротивления). Так же следует отметить, что произведение физических величин первого и второго рода всегда есть мощность.
Представленная система параллелей позволяет понять, что математическое описание процессов движения координат систем принадлежащих разным энергетическим доменам подобно, и может быть предметом изучения одной науки, которая называется «Теория систем автоматического регулирования». Более того, в последние годы, приобретен успешный опыт применения методов этой теории при решении задач управления в экономических, финансовых и других нетехнических системах.
Типовые динамические звенья
Типовым динамическим звеном САУ является составная часть системы, которая описывается дифференциальным уравнением не выше второго порядка. Звено, как правило, имеет один вход и один выход. По динамическим свойствам типовые звенья делятся на следующие разновидности: позиционные, дифференцирующие и интегрирующие.
Позиционными звеньями являются такие звенья, у которых в установившемся режиме наблюдается линейная зависимость между входными и выходными сигналами. При постоянном уровне входного сигнала сигнал на выходе также стремится к постоянному значению.
Дифференцирующими являются такие звенья, у которых в установившемся режиме выходной сигнал пропорционален производной по времени от входного сигнала.
Интегрирующими являются такие звенья, у которых выходной сигнал пропорционален интегралу по времени от входного сигнала.
Звено считается заданным и определенным, если известна его передаточная функция или дифференциальное уравнение. Кроме того, звенья имеют временные и частотные характеристики.
Временные характеристики линейных САУ
Временные характеристики показывают поведение системы с момента подачи на нее воздействия в виде единичной ступенчатой или единичной импульсной функции, до момента перехода системы в установившейся режим. По этим характеристикам судят о поведении системы в переходном режиме и о точности работы системы. В соответствии с входным сигналом различают две переходные характеристики:
1. Переходная характеристика системы h(t). Эта функция определяется изменением выходной величины системы (отдельного элемента системы) при скачкообразном изменении входной величины (подаче на вход 1 (t)) при нулевых начальных условиях.
2. Импульсная переходная характеристика ω(t) (функция веса). Эта функция определяется изменением выходной величины системы (отдельного элемента) при приложении на вход системы единичного импульса δ(t) при нулевых начальных условиях.
Для получения переходной и импульсной характеристики нужно в дифференциальное уравнение связи подставить в качестве входного сигнала единичную ступенчатую функцию для нахождения h(t) и решить получившееся уравнение относительно h(t), а затем для того чтобы получить ω(t) достаточно продифференцировать h(t).
Частотные характеристики
В условиях реальной эксплуатации САУ часто возникает необходимость определить реакцию на периодические сигналы, т.е. определить сигнал на выходе САУ, если на один из входов подается периодический сигнал гармонической формы.
Решение этой задачи возможно получить путем использования частотных характеристик. Частотные характеристики могут быть получены экспериментальным или аналитическим путем. При аналитическом определении исходным моментом является одна из передаточных функций САУ (по управлению или по возмущению). Возможно также определение частотных характеристик исходя из передаточных функций разомкнутой системы и передаточной функции по ошибке.
Если задана передаточная Функция W(р), то путём замены p→jω получаем частотную передаточную функцию W(jω), которая является комплексным выражением т.е. W(jω)=U(ω)+jV(ω), где U(ω) – действитльная составляющая, а V(ω) – мнимая составляющая. Частотная передаточная функция может быть представлена в показательной форме:
W(jω)=A(ω) ejφ(ω)
где
-АЧХ системы, показывает с каким коэффициентом передачи система передает на выход гармонический сигнал с фиксированной частотой; 
-ФЧХ системы показывает на сколько выходной сигнал с фиксированной частотой задерживается или опережает по фазе входной сигнал.Таким образом, дифференциальное уравнение движения системы связывает входной и выходной сигналы (т.е. функции времени), ПФ связывает изображения Лапласа тех же сигналов, а частотная ПФ связывает их спектры.
Частотная передаточная функция W(jω) может быть представлена на комплексной плоскости. Графическое отображение для всех частот спектра отношений выходного сигнала САУ к входному, представленных в комплексной форме будет представлять собой амплитудно-фазовую частотную характеристику (АФЧХ) или годограф Найквиста. Величина отрезка от начала координат до каждой точки годографа показывает во сколько раз на данной частоте выходной сигнал больше входного – АЧХ, а сдвиг фазы между сигналами определяется углом до упомянутого отрезка – ФЧХ. При этом отрицательный фазовый сдвиг представляется вращением вектора на комплексной плоскости по часовой стрелке относительно вещественной положительной оси, а положительный фазовый сдвиг представляется вращением против часовой стрелки. Для упрощения графического представления частотных характеристик, а также для облегчения анализа процессов в частотных областях используются логарифмические частотные характеристики: логарифмическая амплитудная частотная характеристика (ЛАЧХ) и логарифмическая фазовая частотная характеристика (ЛФЧХ). При построении логарифмических характеристик на шкале частот вместо ω откладывается lg(ω) и единицей измерения является декада. Декадой называется интервал частот, соответствующий изменению частоты в 10 раз. При построений ЛАЧХ на оси ординат единицей измерения является децибел, который представляет собой соотношение L=20 lg А(ω). Верхняя полуплоскость ЛАЧХ соответствует значениям А>1 (усиление амплитуды), а нижняя полуплоскость – значениям А<1 (ослабление амплитуды). Точка пересечения ЛАЧХ с осью абсцисс соответствует частоте среза ωср, при которой амплитуда выходного сигнала равна входной.
Для ЛФЧХ на оси частот используется логарифмический масштаб, а для углов – натуральный масштаб. На практике логарифмические частотные характеристики строятся на совмещённой системе координат, которые представлены на рис. 1.
Рис. 1. Схема координат для логарифмических характеристик
Особенно удобно использовать логарифмические частотные характеристики при анализе всей системы.
Структурные схемы линейных САУ
Под структурной схемой САУ будем понимать её графическое изображение, отображающее её элементы и связи с точки зрения их передаточных функций и взаимодействия. Структурная схема выступает в качестве динамического эквивалента реальной системы САУ. Она может быть получена по дифференциальному уравнению связи и по передаточным функциям. Элементы на структурной схеме обозначаются прямоугольниками внутри которых записывается передаточная функция К(р), слева входной, а справа выходной сигналы.
Определение передаточной функции по структурной схеме
При анализе структурных схем оперируют четырьмя передаточными функциями:
1. Передаточная функция разомкнутой системы W(p)
2. Передаточная функция замкнутой системы Ф(р)
3. Передаточная функция по ошибке ФD (р)
4. Передаточная функция по внешнему воздействию ФF(р)
1) W(p) – передаточная функция рассчитывается как отношение хвых(р) к Dх(р) при отбросе всех возмущающих воздействий и обратной связи и при отброшенном задающем воздействии
; 
2) Ф(р) – передаточная функция рассчитанная при отброшенном возмущающем воздействии
; 