Кручение упругопластического стержня (стр. 2 из 3)
Доказательство:
(в силу эквивалентности норм в пространстве 
); 
Утверждение 2. Решение задачи З1 единственно.
Доказательство:
Будем доказывать это утверждение от противного.
Пусть существуют различные
, которые доставляют минимум функционалу 
.Тогда, из (1.11) выполнено:
(2.2.1) 
(2.2.2)Подставим в (2.2.1)
вместо 
, в (2.2.2) 
вместо .Получим
(2.2.3) 
(2.2.4)Умножим (2.2.4) на -1:
Отсюда,
Форма
– эллиптическая, 
.Окончательно,
Решение
должно удовлетворять неравенству 
(2.3.1)Перепишем неравенство (2.3.1) как
(2.3.2)Неравенство (2.3.2) выполняется для
: 
(2.3.3)Оценим правую часть неравенства (2.3.3) сверху:
(2.3.4)Левую часть (2.3.3) оценим снизу:
(2.3.5)Тогда
(2.3.6) 
- первое основное неравенство 
, иначе 
Рассмотрим семейство конечномерных пространств
, каждое из которых является внутренней аппроксимацией пространства 
.Будем строить
по схеме метода конечных элементов.Построим триангуляцию области
. В результате получим область 
, где 
– число треугольников в разбиении, 
– i-тый треугольник разбиения.Для каждого узла триангуляции
построим аффинную функцию 
, обладающую следующими свойствами:1.
2.
, где 
– вершины, смежные с 3.
, где 
– семейство полиномов первого порядка.Составим пространство
из построенных функций .Теперь необходимо аппроксимировать множество
, заданное формулой (1.9).Пусть
. Тогда 
.Покажем, что множество
аппроксимирует .1)
От противного: Пусть
такие, что 
Но, по свойству предельной плотности
. Следовательно, 
, т.е. 
.Отсюда, по лемме о сохранении строгих неравенств
требуемое свойство выполнено.2)
слабо. 
(конечномерное пространство), значит 
сильно, 
Запишем задачу З1: найти
такое, что Наряду с ней сформулируем задачу З2:
найти
такое, что 
При сделанных предположениях относительно
. Для решения задачи З2 будем использовать метод штрафа.
Исходная вариационная задача:
(4.1)Построим вспомогательный функционал
(4.2) 
– функция штрафа. (4.3) 
, если 
, если 
Тогда вместо решения задачи (4.1) можем решать задачу
. По свойствам функционала 
ее решение 
существует и единственно.Кроме того,
– выпуклая, дифференцируемая по Гато функция [2].Производная Гато функции
: 
Тогда задача
эквивалентна решению уравнения 
(4.4) 
(4.5)