Кручение упругопластического стержня (стр. 3 из 3)

Можно показать, что

– монотонный оператор и , если [3].

Следовательно, решение вариационной задачи

.

Замечания по реализации:

Неизвестную функцию решения

будем искать в виде:

, (4.6) где – число узлов триангуляции,

– значение функции в i-том узле,

– базисная функция из пространства .

Тогда задача минимизации функционала (4.2) превратится в задачу многомерной минимизации по

:

5. Тесты

Алгоритм для нахождения минимума функционала (4.2) реализован в среде Matlab.

Были проведены расчеты для различных форм сечений стержня (области

): круга, квадрата и треугольника.

В случае если сечение стержня – круг, то известно аналитическое решение задачи.

1)

. Точное решение задачи .

На рис. 2-5 продемонстрированы численные решения задачи при разных разбиениях

.

Рис.2 Число узлов = 29

Рис.3 Число узлов = 146

Рис.4 Число узлов = 270

Рис.5 Число узлов = 549

Для оценки погрешности решения введем величину

, характеризующую относительную погрешность.

Здесь

– точное решение, – численное решение;

, где – число узлов.

В таблице 1 приведены результаты сравнения численного и точного решения.

№ теста	Число элементов	Число узлов	Относит.погрешность
1	40	29	0.03035
2	258	146	0.00631
3	490	270	0.01735
4	1032	549	0.00219

Таблица 1 Результаты сравнения (1).

2)

. Точное решение задачи .

На рис. 6-9 продемонстрированы численные решения задачи при разных разбиениях

.

Рис.6 Число узлов = 29

Рис.7 Число узлов = 146

Рис.8 Число узлов = 270

Рис.9 Число узлов = 549

Как и в первом примере, вычислена относительная ошибка, см. Таблицу 2.

№ теста	Число элементов	Число узлов	Относит.погрешность
1	40	29	0.18035
2	258	146	0.08561
3	490	270	0.04981
4	1032	549	0.03484

Таблица 2 Результаты сравнения (2).

3) На Рис.10-11 изображены численные решения задачи для стержня с квадратным сечением,

Рис.10 Число узлов = 27

Рис.11 Число узлов = 177

4) На Рис.12 изображено численное решение задачи для стержня с треугольным сечением,

Рис.12 Число узлов = 144

Выводы

В ходе выполнения данной работы была изучена задача о кручении упругопластического стержня.

Показано, что решение задачи существует и единственно.

Предложен метод численного решения поставленной задачи, основанный на применении конечноэлементного подхода для перехода от бесконечномерной задачи к конечномерной, а также на применении метода штрафа для минимизации целевого функционала.

Проведены различные численные эксперименты; для случая, когда известно аналитическое решение задачи, вычислена относительная ошибка численного решения по сравнению с точным.

Список литературы

1. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. – М.:Мир, 1980.
2. Гловински Р., Лионс Ж.-Л., Тремольер Р. Численное исследование вариационных неравенств. – М.:Мир, 1979.
3. Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. – М.:Мир, 1972.