Метод Ньютона и его модификации решения систем нелинейных уравнений (стр. 2 из 5)

. (1.5)

Принимая решение уравнения (5) за новое приближение

, приходим к формуле (1.3).

1.2. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА О СХОДИМОСТИ МЕТОДА НЬЮТОНА.

Теорема 1.

Пусть

- простой корень уравнения

, в некоторой окрестности которого функция

дважды непрерывно дифференцируема. Тогда найдётся такая малая

- окрестность корня

, что при произвольном выборе начального приближения

из этой окрестности итерационная последовательность метода Ньютона не выходит за пределы окрестности и справедлива оценка:

, , (1.6)

где

, означающая, что метод сходится с квадратичной скоростью.

Следствием оценки (6) является априорная оценка:

, , (1.7)

в которой

.

Так как

(по определению простого корня), то в силу непрерывности функции и найдётся - окрестность корня, в которой при некоторых постоянных и выполнены неравенства .

Пусть

, где

. Подставляя в (1.4), получим равенство:

,

в котором

. Вычитая из него равенство (1.2), имеем

.

Тогда, приравняв модули обеих частей этого равенства и используя условия ограниченности

и , приходим к неравенству:

,

откуда следует справедливость оценки (1.6).

Таким образом, при выборе начального приближения из достаточно малой окрестности корня метод Ньютона сходится квадратично. Это означает, что на каждой итерации число верных цифр приближения примерно удваивается.

Приведённые в теореме 1 оценки погрешности являются априорными и их использование в практике вычислений для количественной оценки погрешности неэффективно или чаще всего невозможно.

1.3. КРИТЕРИЙ ОКОНЧАНИЯ.

На практике предпочтительнее использование простой апостериорной оценки:

, (1.8)

справедливость которой обосновывается следующим утверждением.

Теорема 2.

Пусть выполнены условия теоремы 1 и

. Тогда для всех

верна оценка (8).

Из оценки (1.7) следует, что

. Поэтому, применяя неравенство (6), получим цепочку неравенств:

,

из которой вытекает оценка (1.8).

Наличие оценки (1.8) позволяет сформулировать следующий практический критерий окончания итерации метода Ньютона. При заданной точности

вычисления нужно вести до тех пор, пока не окажется выполнимым равенство:

. (1.9)

Пример 1.

Используя метод Ньютона, найдём с точностью

положительный корень уравнения .

Для имеем . Очевидно, что , т.е. -простой корень. Возьмём начальное приближение и будем выполнять итерации метода Ньютона по формуле:

.

Результаты первых итераций с 10 знаками мантиссы приведены в табл. 1.

Табл. 1

При

вычисления следует прекратить, и после округления получим .

Сравнение результатов итераций со значением

показывает, что приближения содержат 1, 3, 6 верных значащих цифр соответственно. Это подтверждает отмеченный ранее факт, что при каждой итерации метода Ньютона число верных значащих цифр примерно удваивается.

Пример 2.

Используя метод Ньютона, укажем итерационный процесс вычисления

, где , - натуральное число.

По определению,

- это неотрицательная величина, удовлетворяющая равенству . Таким образом, задача сводится к вычислению положительного корня уравнения , где . Итерационная формула метода Ньютона имеет вид: