Арифметичні основи обчислювальної техніки (стр. 1 из 3)
Полтавський Військовий Інститут Зв’язку
Кафедра схемотехніки радіоелектронних систем
ОБЧИСЛЮВАЛЬНА ТЕХНІКА ТА МІКРОПРОЦЕСОРИ
напрям підготовки 0924 «Телекомунікації»
Арифметичні основи обчислювальної техніки.
Полтава – 2006
Навчальна література.
1.Калабеков Б.А., Мамзелев И.А.Цифровые устройства и микропроцессорные системы.М.: Радио и связь, 1987, с.158-166
2.Цифровая и вычислительная техника /Под ред.Э.В.Евреинова/.М.: Радио и связь, 1991, с.39-58.
3.Лихтциндер Б.Я., Кузнецов В.Н. Микропроцессоры и вычислительные устройства в радиотехнике. К.: Вища школа, 1988, с.11-25.
1. ФОРМИ ПОДАННЯ ДВІЙКОВИХ ЧИСЕЛ В ЕОМ
Двійкові числа в обчислювальних пристроях розміщуються у комірках пам'яті, причому для кожного розряду числа виділяється окрема комірка, що зберігає один біт інформації. Сукупність комірок, призначених для розміщення одного двійкового числа, називають розрядною сіткою. Довжина розрядної сітки (число комірок n у розрядній сітці) обмежена і залежить від конструктивних особливостей обчислювального пристрою. Більшість існуючих електронних обчислювальних пристроїв мають розрядні сітки, що містять 16, 32 або 64 комірок.
Розміщення розрядів числа у розрядній сітці може відбуватися різними способами. Спосіб розміщення визначається формою подання двійкових чисел у ЕОМ. Розрізняють дві форми подання двійкових чисел: із фіксованою комою і з «плавучою» комою. Іноді ці форми називають відповідно природною і напівлогарифмічною.
Припустимо, що в розрядній сітці необхідно розмістити двійкове число, що містить цілу і дробову частини. Якщо для розміщення цілої частини числа виділяється k комірок n-розрядної сітки, то (якщо не враховувати знак) для розміщення дробової частини залишиться n-k вільних комірок (рис. 1).
 | n | |||||||||||
| Знак | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | ||
| k | n-k | |||||||||||
Рис. 1. Форма подання двійкових чисел із фіксованою комою.
Така форма подання двійкових чисел називається формою з фіксованою комою. Дійсно, положення коми строго фіксовано стосовно розрядної сітки. Якщо кількість розрядів у дробовій частині числа перевищують n-k, то деякі молодші розряди виходять за межі розрядної сітки і не будуть сприйматися обчислювальним пристроєм. Отже, будь-яке двійкове число, менше ніж одиниця молодшого розряду розрядної сітки, сприймається як нуль і називається машинним нулем.
У результаті відкидання молодших розрядів дробової частини числа, розташованої за межами розрядної сітки, виникає похибка подання. Максимальне значення абсолютної похибки подання не перевищує одиниці молодшого розряду сітки.
В універсальних ЕОМ форма з фіксованою комою, у зв'язку з властивою їй низькою точністю, застосовується лише для подання цілих чисел. Основною є форма подання чисел з «плавучою» комою. Її використання дозволяє суттєво розширити діапазон і зменшити відносну похибку.
У цій формі числа подаються у вигляді суми деякого ступеня основи системи числення (який називається характеристикою числа) і цифрової частини, що має вигляд правильного дробу:
,де p звуть порядком числа, а правильний дріб a – його мантисою. Мантиса і порядок є знаковими числами. Тому для позначення знаків у розрядній сітці відводяться два додаткові розряди. Знак усього числа співпадає із знаком мантиси.
При запису двійкового числа у показовій формі, в розрядній сітці використовуються дві групи розрядів (без урахування знакових розрядів мантиси і порядку). Перша група (k розрядів) призначена для розміщення коду мантиси, друга (n-k розрядів) – для розміщення коду порядку (рис.2).
 | n | |||||||||||||
| Знак мантиси | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | Знак порядку | |||
| k | n-k | |||||||||||||
Рис. 2. Форма подання двійкових чисел із „плавучою” комою.
Отже, мантиса числа може мати необмежену кількість різних значень, менших за одиницю, при відповідних значеннях порядку (тобто кома може «плавати»). З усієї кількості подань числа у показовій формі те його подання, що не має в старшому розряді мантиси нуля, називають нормалізованим. Всі інші подання є ненормалізованими. У нормалізованій формі значення мантиси завжди більші або дорівнюють 1/2, але не перевищують одиниці.
У обчислювальних пристроях із «плавучою» комою усі числа зберігаються у нормалізованому вигляді, при цьому не втрачаються молодші розряди мантиси і підвищується точність обчислень. Якщо після виконання будь-якої арифметичної операції результат виявляється ненормалізованим, то перед занесенням числа в пам’ять виконують його нормалізацію, тобто зсув мантиси ліворуч на відповідну кількість розрядів, і зменшення порядку числа на відповідну кількість одиниць.
Показова форма подання чисел має і свої вади, основною з яких є порівняно висока складність виконання арифметичних операцій, а отже, і більша вимогливість до ресурсів обчислювального пристрою. Це обмежує її застосування, наприклад, у спеціалізованих радіотехнічних обчислювальних пристроях, у системах управління технологічними процесами та обробки вимірювальної інформації у реальному часі.
2. ПРЯМИЙ, ОБЕРНЕНИЙ І ДОДАТКОВИЙ КОДИ ДВІЙКОВИХ ЧИСЕЛ
Залежно від способу обробки бітів, розміщених у розрядній сітці, розрізняють два види кодів: паралельний, коли в кожний момент часу всі розряди сітки доступні для обробки, і послідовний, коли в кожний момент часу доступний один розряд сітки. Числа, подані паралельним кодом, доступні за один такт, а числа, подані послідовним кодом, – за n тактів, де n – розрядність сітки. Якщо розрядність числа перевищує довжину сітки, то його обробка ведеться частинами.
Натуральним кодом називають подання числа як цілого беззнакового у двійковій системі числення. Діапазон подання чисел у натуральному коді для n- розрядної сітки становить від 0 до 2n-1, тобто для 8-розрядної сітки – від 0 до 255.
Для подання цілих знакових чисел використовують прямий, обернений і додатковий коди. Старший розряд сітки є знаковим. Значення цього розряду дорівнює 0 для додатних чисел і 1 – для від’ємних. В інших розрядах розміщується модуль числа.
Якщо до натурального коду цілого числа додати знаковий розряд, одержуємо запис числа у прямому коді (ПК). Домовимося знаковий розряд розташовувати зліва і відокремлювати від розрядів модуля числа крапкою, наприклад: + 6(10) = 0. 110(ПК); - 6(10) = 1. 110(ПК).
Використання ПК забезпечує виконання операції додавання двох додатніх чисел звичайним способом без будь-яких складностей – не варто лише робити перенос одиниці старшого розряду модуля суми у знаковий розряд. Тобто при виконанні арифметичних операцій над ПК двійкових чисел знаковий розряд і розряди модуля не можна розглядати як єдине ціле. У цьому можна переконатися, розглянувши такий приклад:
| Правильно: | Неправильно: |
| 0. 0110 + 0. 1010 0.10000 | 0.0110 + 0.1010 1.0000 |
| (+6) + (10) = (+16) | (+6) + (+10) = (- 0) |
Однак, виконання операції віднімання одного числа від іншого шляхом безпосереднього додавання їхніх ПК неможливо. Неважко також помітити, що в ПК нуль має два можливі зображення: - 0 = 1.000... і + 0 = 0.000..., що ускладнює інтерпретацію результатів виконання арифметичних операцій у ЕОМ.
Іншою формою запису двійкових чисел є обернений код (ОК).
ОК двійкового від’ємного числа утворюється з ПК рівного йому за модулем додатнього числа шляхом інвертування значень усіх його розрядів. Або: ОК від’ємного числа утворюється шляхом інверсії всіх розрядів модуля цього числа, записаного у ПК. Знаковий розряд при цьому зберігає значення 1. Наприклад, 6(10) = 1.110(ПК) =1.001(ОК).
При виконанні арифметичних операцій над двійковими числами, поданими в ОК, знаковий розряд і розряд модуля числа можна розглядати як єдине ціле (перенос одиниці зі старшого розряду модуля суми в знаковий розряд не приводить до помилкового результату), але нуль як і раніше має два зображення – «додатнє» і «від’ємне». Слід зазначити, що отриманий при додаванні від’ємний результат також утворюється в ОК. У цьому випадку число може бути перетворене у ПК інверсією всіх значущих розрядів (розрядів модуля). Наприклад:
| 0.110 |
| +1.001 |
| 1.111(ОК) = 1.000(ПК) |
(+6) + (-6) = (-0)
Найбільше поширення в обчислювальних пристроях одержало подання від’ємних двійкових чисел за допомогою додаткового коду (ДК).
ДК від’ємного числа утворюється з його прямого коду за правилом:
· у знаковому розряді залишається одиниця;
· розряди модуля числа інвертуються;
· до молодшого розряду додається одиниця.
Очевидно, що ДК від’ємного числа утворюється з його ОК додаванням одиниці до молодшого розряду.
Наприклад, - 6(10) = 1.010(ДК).
Дійсно, для числа - 6 маємо: