Информатика и компьютерные науки (стр. 7 из 14)
Неравенство показывает, что двоичное число является нормализованным, если в старшем разряде мантиссы стоит единица. Например, число 0,110100*10100 - нормализованное, а 0,001101*10110 - ненормализованное.
Нормализованное представление чисел позволяет сохранить в
разрядной сетке большее количество значащих цифр и, следовательно, повышает точность вычислений. Однако современные ЭВМ позволяют, при необходимости, выполнять операции также и над ненормализованными числами.
Широкий диапазон представления чисел с плавающей запятой удобен для научных и инженерных расчетов. Для повышения точности вычислений во многих ЭВМ предусмотрена возможность использования формата двойной длины, однако при этом происходит увеличение затрат памяти на хранение данных и замедляются вычисления.
Представление отрицательных чисел в ЭВМ.
Для кодирования знака двоичного числа используется старший ("знаковый") разряд (ноль соответствует плюсу, единица - минусу).
Такая форма представления числа называется прямым кодом.
Формула для образования прямого кода правильной дроби имеет вид:
[A]пр=A, если A>=0,
[A]пр=1-A, если A<0.
Примеры:
A = 0,110111 - [A]пр = 0,110111
A = -0,110111 - [A]пр = 1 - (-0,110111) = 1,110111
Прямой код целого числа получается по формуле:
[A]пр=A, если A>=0,
[A]пр=10n-1-A, если A<0.
где 10 - число 2 в двоичной системе счисления, n - количество позиций в разрядной сетке.
Например, при n=8
A = 110111 - [A]пр = 00110111
A = -110111 - [A]пр = 10000000 - (-110111) = 10110111
В ЭВМ прямой код применяется только для представления положительных двоичных чисел. Для представления отрицательных чисел. применяется либо дополнительный, либо обратный код, так как над отрицательными числами в прямом коде неудобно выполнять арифметические операции.
Формула для образования дополнительного кода дроби:
[A]доп = 10 + А
Формула для образования обратного кода дроби:
[A]обр = 10 - 10-(n-1) + A.
Например, при n=8, A=-0,1100001
[A]доп = 10 + (-0,1100001) = 1,0011111
[A]обр = 10-10-7+(-0,1100001) = 1,1111111-0,1100001 = 1,0011110.
Формула для образования дополнительного кода целого числа:
[A]доп = 10n + A.
Формула для образования обратного кода целого числа:
[A]обр = 10n - 1 + A.
Например, при n = 8, A = -1100001 -
[A]доп = 100000000 + (-1100001) = 10011111
[A]обр = 100000000-1+(-1100001) = 11111111-1100001 = 10011110.
Таким образом, правила для образования дополнительного и обратного кода состоят в следующем:
для образования дополнительного кода отрицательного числа необходимо в знаковом разряде поставить единицу, а все цифровые разряды инвертировать (заменить 1 на 0, а 0 - на 1), после чего прибавить 1 к младшему разряду;
для образования обратного кода отрицательного числа необходимо в знаковом разряде поставить единицу, а все цифровые разряды инвертировать.
Примечание: при данных преобразованиях нужно учитывать размер разрядной сетки.
Замена вычитания двоичных чисел A1-A2 сложением с дополнениями [A1]пр+[-A2]доп или [A1]пр+[-A2]обр позволяет оперировать со знаковыми разрядами так же, как и с цифровыми. При этом
перенос из старшего знакового разряда, если он возникает, учитывается по разному для обратного и дополнительного кодов:
при использовании дополнительного кода единица переноса из знакового разряда отбрасывается;
при использовании обратного кода единица переноса из знакового разряда прибавляется к младшему разряду суммы (осуществляется так называемый циклический перенос).
Пример: складываем числа A1=0,10010001 и A2=-0,01100110
При использовании обратного кода получим:
[A1]пр = 0,10010001
+
[A2]обр = 1,10011001
───────────
10,00101010
└─────── +1
Результат: 0,00101011
При использовании дополнительного кода получим:
[A1]пр = 0,10010001
+
[A2]доп = 1,10011010
───────────
Результат: 0,00101011
Если знаковый разряд результата равен нулю, то получено положительное число, которое представлено в прямом коде. Если в знаковом разряде единица, то результат отрицательный и представлен в обратном или дополнительном коде.
Для того, чтобы избежать ошибок при выполнении бинарных операций, перед переводом чисел в обратные и дополнительные коды необходимо выравнивать количество разрядов прямого кода операндов.
При сложении чисел, меньших единицы, в машине могут быть получены числа, по абсолютной величине большие единицы. Для обнаружения переполнения разрядной сетки в ЭВМ применяются модифицированные прямой, обратный и дополнительный коды. В этих кодах знак кодируется двумя разрядами, причем знаку "плюс" соответствует комбинация 00, а знаку "минус" - комбинация 11.
Правила сложения для модифицированных кодов те же, что и для обычных. Единица переноса из старшего знакового разряда в модифицированном дополнительном коде отбрасывается, а в модифицированном обратном коде передается в младший цифровой разряд.
Признаком переполнения служит появление в знаковом разряде суммы комбинации 01 при сложении положительных чисел (положительное переполнение) или 10 при сложении отрицательных чисел (отрицательное переполнение). Старший знаковый разряд в этих случаях содержит истинное значение знака суммы, а младший является старшей значащей цифрой числа. Для коррекции переполнения число нужно сдвинуть в разрядной сетке на один разряд вправо, а в освободившийся старший знаковый разряд поместить цифру, равную новому значению младшего знакового разряда. После корректировки переполнения мантиссы результата необходимо увеличить на единицу порядок результата.
Система вещественных чисел, применяемая при ручных вычислениях, предполагается бесконечной и непрерывной, т.е. не существует никаких ограничений на диапазон используемых чисел и точность их представления.
Однако в компьютерах реализация такой системы на аппаратном уровне была бы нецелесообразной, хотя программно может быть реализована любая точность вычислений. Нецелесообразность аппаратной реализации вычислений с произвольной точностью вызвана тем, что такие вычисления требуют неоправданно большого расхода основных машинных ресурсов: памяти и процессорного времени.
Во всех компьютерах размеры регистров и ячеек памяти фиксированы, что ограничивает систему представления чисел. Ограничения касаются как диапазона, так и точности представления чисел, т.е. система машинных чисел оказывается конечной и дискретной.
В любой универсальной ЭВМ существует несколько различных форматов представления как для чисел с фиксированной, так и для чисел с плавающей запятой. На некоторые из форматов имеются международные стандарты, и поэтому такие форматы являются общими для ЭВМ, построенных различными фирмами на различной элементной базе. Следует отметить, что нестандартные форматы обычно являются неявно специализированными для определенных областей применения, причем разработчики аппаратуры могут не указать в документации, для чего был предназначен тот или иной формат.
С точки зрения программиста важно, какие из форматов данных обрабатываются аппаратными средствами данной ЭВМ, а какие - только программными средствами. Операции над данными любого формата, который не поддерживается аппаратурой, выполняются очень медленно. Любой формат данных, который превышает размер регистров процессора, не пригоден для быстрых вычислений.
Для представления целых чисел в ЭВМ обычно применяются 8-, 16-, 32- и 64-битовый стандартные форматы, причем интерпретация чисел как знаковых или беззнаковых обычно возлагается на программиста или на компилятор с языка высокого уровня.
Для представления чисел с плавающей запятой также существует несколько стандартных форматов, различающихся по точности, но имеющих одинаковую структуру следующего вида:
n-1 n-2 0
┌───╥───┬───┬─────┬───╥───┬───┬─────┬───┐
│ ║ │ │ ... │ ║ │ │ ... │ │
└───╨───┴───┴─────┴───╨───┴───┴─────┴───┘
│ └────────╥────────┘└────────╥───────┘
│ смещенный модуль
знак порядок мантиссы
мантиссы
Порядок p задается в так называемой смещенной форме: если для задания порядка выделено k разрядов, то к истинному значению порядка прибавляют смещение, равное (2k-1-1). Использование смещенной формы позволяет производить операции над порядками, как над беззнаковыми числами, что упрощает операции сравнения, сложения и вычитания порядков. Кроме того, использование смещенного порядка упрощает операцию сравнения нормализованных чисел с плавающей запятой, сводя ее к операции сравнения целых чисел.
Следует отметить, что вещественный формат с m-разрядной мантиссой позволяет абсолютно точно представлять m-разрядные целые числа, т.е. любое двоичное целое число, содержащее не более m разрядов, может быть без искажений преобразовано в вещественный формат.
ОСНОВНЫЕ КОМПОЗИЦИИ ДЕЙСТВИЙ И ИХ ПРАВИЛА ВЫВОДА
1. СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ КОРРЕКТНОСТИ ПРОГРАММ
Каждый алгоритм имеет как статическую, так и динамическую структуры. Статическая структура представляется текстом (или структурной схемой) программы, описывающим действия и проверки, которые должны быть выполнены при решении данной задачи. Текст не зависит от значений исходных данных. Напротив, динамическая структура в значительной степени определяется выбором исходных данных, поскольку при выполнении алгоритма будут сделаны различные переходы в зависимости от значений входных переменных. Динамическая структура отражает процесс вычислений и состоит из последовательности состояний вычислений.
Состояние вычислений в любой момент времени включает в себя значения всех программных переменных в этот момент и, таким образом, зависит от начальных значений переменных и этапов вычислений алгоритма, которые ему предшествовали. Текущая инструкция или изменяет состояние вычисле-