Решение дифференциальных уравнений 1 порядка методом Эйлера (стр. 3 из 3)

Указанная операционная система обладает рядом преимуществ:

· наличие достаточного количество ANSI или POSIX совместимых компиляторов языка C++, разработанных для данной ОС, а именно –

o Microsoft C++ (version 2-6)

o gcc

o Borland C++

o Intel C++

o прочие;

· достаточная управляемость, надежность и безопасность;

· широкое распространение основанных на ядре NT операционных систем Microsoft, совместимых по программному обеспечению с WindowsXPProfessional (NT/2000/XP/2003 – client & server);

· высокая скорость работы приложений, разработанных для данной ОС с использованием компиляторов C++.

Исходный код программы может быть откомпилирован и под другой операционной системой, если для таковой имеется ANSI или POSIX совместимый компилятор языка C++.

Программа была протестирована на операционной системе MicrosoftWindowsXPProfessionalSP1.

Технические данные :

· HDD: 60 Gb

· Процессор x86 Family 15 Model 2 Stepping 7 GenuineIntel ~1817 МГц

· Версия BIOS Award Software International, Inc. F4, 06.03.2003

· Аппаратно-зависимый уровень (HAL) Версия = "5.1.2600.1106 (xpsp1.020828-1920)"

· Полный объем физической памяти 256,00 МБ

· Доступно физической памяти 29,97 МБ

· Всего виртуальной памяти 873,69 МБ

· Доступно виртуальной памяти 350,04 МБ

· Файл подкачки 618,21 МБ

4.2 Описание языка программирования

Язык программирования С++

С++ - это универсальный язык программирования, задуманный так, чтобы сделать программирование более приятным для серьезного программиста. За исключением второстепенных деталей С++ является надмножеством языка программирования C. Помимо возможностей, которые дает C, С++ предоставляет гибкие и эффективные средства определения новых типов. Используя определения новых типов, точно отвечающих концепциям приложения, программист может разделять разрабатываемую программу на лег ко поддающиеся контролю части. Такой метод построения программ часто называют абстракцией данных. Информация о типах содержится в некоторых объектах типов, определенных пользователем. Такие объекты просты и надежны в использовании в тех ситуациях, когда их тип нельзя установить на стадии компиляции. Программирование с применением таких объектов часто называют объектно-ориентированным. При правильном использовании этот метод дает более короткие, проще понимаемые и легче контролируемые программы.

В С++ нет типов данных высокого уровня и нет первичных операций высокого уровня. В нем нет, например, матричного типа с операцией обращения или типа строка с операцией конкатенации. Если пользователю понадобятся подобные типы, их можно определить в самом языке. По сути дела, основное, чем занимается программирование на С++ - это определение универсальных и специально-прикладных типов. Хорошо разработанный тип, определяемый пользователем, отличается от встроенного типа только способом определения, но не способом использования.

Реализация С++ очень легко переносима. Однако есть полные основания использовать С++ в среде, где имеется гораздо более существенная поддержка. Такие средства, как динамическая загрузка, пошаговая трансляция и база данных определений типов могут с пользой применяться без воздействия на язык.

Типы и средства сокрытия данных в С++ опираются на проводимый во время компиляции анализ программ с целью предотвращения случайного искажения данных. Они не обеспечивают секретности или защиты от умышленного нарушения правил. Однако эти средства можно использовать без ограничений, что не приводит к дополнительным расходам времени на выполнение или пространства памяти.

Компилятор MicrosoftC++ и среда разработки MicrosoftVisualStudio

В качестве компилятора для разработки приложения был выбран MicrosoftC++ по следующим причинам:

· практически полная совместимость со стандартом ANSIC++;

· наличие удобной среды разработки MicrosoftVisualStudio;

· наличие отличной документации;

· высокая скорость работы результирующих приложений;

· совместимость разработанных приложений с большим количеством широко распространенных операционных систем;

· достаточная скорость компиляции.

4.3 Описание программы

Разработанное приложение поставляется в виде 2-ух файлов:

1. methodEulera.cpp – исходный код программы на языке C++;

2. methodEulera.exe – исполняемый файл.

Для выполнения исполняемого файла необходима одна из ниже перечисленных операционных систем:

· Microsoft Windows 3.11+Win32s;

· Microsoft Windows 95/98/Me;

· MicrosoftWindowsNT/2000/XP/2003 – клиентская или серверная версия.

Программа не требует предварительной установки и может быть сразу же запущена на выполнение.

Исходный код приложения может быть откомпилирован в любом ANSI или POSIX совместимом компиляторе С++ для получения выполнимой программы. Для успешной компиляции требуется наличие стандартной библиотеки «iostream».

5. Контрольный пример

Данный метод протестирован на контрольном примере и реализован с помощью языка программирования С++.

В результате вычислений контрольного примера вида y’=2x+yс интервалом [0,1],

количеством шагов равному 5 и начальным условием у равным 1, с помощью программы, получились следующие результаты:

Рис. 2. Экран с результатами выполнения программы.

Как видно, при вычислении программа на первом шаге берёт начальные значения для вычисления, а на последующих берёт значения полученные с предыдущих шагов. Можно сделать вывод, что точность вычисления данного метода зависит от количества выбранных шагов: чем больше шагов, тем меньше фиксированное приращение , а следовательно она более точно вычисляет значение всего интервала.

По работе программы стало видно, что с её использованием намного упростилась работа пользователя. Пользователь просто вводит интервал на котором должен вычисляться пример, количество шагов и начальное значения и программа выдаёт уже готовое решение данного примера.

6.Анализ полученных результатов.

По результатам программы можно составить таблицу сравнения результатов полученных при использовании программы и результатов, полученных ручным способом:

Ручной способ вычисления		Программный способ вычисления
Х	Y	X	Y
0	0,82	0	0,82
0,2	0,75	0,2	0,7516
0,4	0,77	0,4	0,770248
0,6	0,85	0,6	0,856793
0,8	0,99	0,8	0,996299

Из приведенного сравнения можно сделать вывод, что один результат отличается от другого тем, что в примере, решенном программным способом ответ вычисляется с наибольшей точностью, чем при ручном способе. Это может быть связано с тем, что в ручном способе результат округляется для удобства вычисления примера.

Решение дифференциальных уравнений методом Эйлера можно также отобразить в графическом виде:

Рис.3.Графическое изображение решения примера y’=2x+y

Как видно из рис.3 графиком решения уравнения является кривая , форма которой зависит от количества разбиений интервала.

По результатам выполненной работы можно сделать вывод, что решение дифференциальных уравнений методом Эйлера является методом вычисления со средней точностью и точность вычисления данного метода зависит от количества разбиений интервала интегрирования. При сравнении результатов решенными разными способами можно сказать, что данный метод был верно реализован на языке программирования MicrosoftVisualC++. Полученные результаты сходятся с небольшой погрешностью.

Список литературы.

1. Численные методы (анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения), Н.С. Бахвалов. Главная редакция физико- математической литературы изд-ва «Наука», М., 1975г.

2. Методы, теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Н.И. Гаврилов . Государственное издательство «Высшая школа» Москва-1962г.

3. В.В.Пак., Ю.Л. Носенко. Высшая математика: Учебник.- Д.: Сталкер, 1997г.

4. Б. П. Демидович, И. А. Марон Основы вычислительной математике. – М., 1966

5. Загускин В. Л. – Справочник по численным методам решения уравнений. – М.: ФИЗМАТГИЗ, 1960. – 216 с.

6. Либерти, Джесс.

Освой самостоятельно С++ за 21 день, 4-е издание.:Пер с англ.-М.: Издательский дом «Вильямс», 2003.-832с.

7. П.Нортон, П.Иао «Программирование на С++ в среде Windows» («Диалектика» Киев 2003г.)

8. Янг М. Microsoft Visual C++ - М.:ЭНТРОП, 2000.

9. Марченко А.И., Марченко Л.А. – Программирование в среде

Turbo Pascal 7.0 – К.: ВЕК+, М.: Бином Универсал, 1998. – 496 с.

10. Высшая математика: Справ. материалы: Книга для учащихся .- М.:

Просвещение, 1988.-416 с.: ил.

Приложение.

Листинг программы.

#include<iostream>

using namespace std;

void func(double& Xi, double& Yi,double kx, double ky, double h);

int main()

{

double h,Xi,Yi,Xkon,kx,ky;

int n;

cout<<"\t"<<"\t"<<"************************************************n";

cout<<"\t"<<"\t"<<"* * "<<"\n";

cout<<"\t"<<"\t"<<"* Reshenie difurov 1 poryadka methodom Eulera *"<<"\n";

cout<<"\t"<<"\t"<<"*************************************************

cout<<endl;

cout<<"Vvedite nachaloe znachenie intervala [a,b]=";

cin>>Xi;

cout<<"Vvedite konechoe znachenie intervala [a,b]=";

cin>>Xkon;

cout<<"Vvedite chislo shagov=";

cin>>n;

h=(Xkon- Xi)/n;

cout<<endl;

cout<<"Vvedite nachalnoe uslovie y=";

cin>>Yi;

cout<<"Vvedite koefitsient pri x=";

cin>>kx;

cout<<"Vvedite koefitsient pri y=";

cin>>ky;

cout<<"|--------|-------------|-----------------|----------|---------------|"<<"\n";

cout<<"|"<<"["<<Xi<<","<<Xkon<<"]" <<" |"<<n<<" |"<<h<<" |"<<Yi<<" |"<<"y'="<<kx<<"x"<<"+"<<ky<<"y"<<" |"<<"\n";

cout<<endl;

for (int i=1;i<=n;i++)

{

func(Xi,Yi,kx,ky,h);

cout<<"\n";

}

return 0;

}

void func(double& Xi, double& Yi, double kx, double ky, double h)

{

double f1,Yprom,a,Xprom;

f1=(kx*Xi)+(ky*Yi);

Yprom=Yi+f1*(h/2);

Xprom=Xi+h/2;

a=kx*Xprom-Yprom;

Yi=Yi+a*h;

cout<<"\t"<<"\t"<<"Interval x="<<Xi<<"\t"<<" Resultat y="<<Yi;

Xi=Xi+h;

}