Построение поверхностей в Mathcad и Maple (стр. 1 из 2)
Mathcad. Построение поверхностей.
Быстрое построение
Быстрое построение является наиболее легким способом построения поверхностей. Для этого необходимо:
1. На лист Mathcad ввести формулу z(x,y):=…;
2. Выбрать команду главного меню «Вставка», «График», выбрать вид графика «поверхность» на панели инструментов «Графики».
3. В шаблон трехмерного графика ввести имя функции без указания аргументов.
Пример:
Построение поверхностей по матрице аппликат.
Самый «правильный» способ построения графика поверхности, заданной функцией от двух переменных z = f(x,y), является заполнение матрицы значениями этой функции. При этом строки и столбцы матрицы интерпретируются как абсциссы и ординаты. Пример:
Определение функции от двух переменных z(x,y):=cos (x . y)
Число линий для построения графика и масштаба N:=40 M:=40
Определение индексов i:=0..N j:=0..N
Определение массивов абсцисс и ординат xi:=
yj:= 
Определение массива аппликат Ai,j,:= z(xi, yj)
В шаблон трехмерного графика вводим название массива аппликат:
Построение с помощью функции CreateMesh.
Функция CreateMesh относится к категории Vectorandmatrix (Векторы и матрицы), так как результатом работы функции будет матрица координат.
Формат вызова функции:
CreateMesh(F , x1, x2, y1, y2, xgrid, ygrid, mesh).
Параметры функции CreateMesh:
Mesh – количество линий в сетке функции;
F – вид функции (может быть или формула, или трёхмерный вектор, задающий каждую координату в параметрической форме, или три отдельные функции, задающие координаты в параметрическом виде);- x1 – нижняя граница переменной x;
- x2 – верхняя граница переменной x;
- y1 – нижняя граница переменной y;
- y2 – верхняя граница переменной y;
- xgrid – количество точек переменной х;
- ygrid – количество точек переменной y.
Пример:
В одной системе координат можно построить несколько поверхностей, для этого достаточно определить их, а затем в шаблон графика ввести их имена без аргументов через запятую:
Построение одного и того же графика в декартовой, цилиндрической
и сферической системах координат
Пусть задана какая-нибудь функция, например z(x,y)=const. В различных системах координат эта функция имеет различные графики. В декартовой системе координат это плоскость, параллельная плоскости Оху, в цилиндрической – прямой круговой цилиндр с основанием радиуса const, в сферической – шар радиуса const. Для изменения системы координат, надо по шаблону графика щелкнуть правой кнопкой мыши, в появившемся перечне выбрать «Свойства», затем «Данные QuickPlot» и указать нужную систему координат. Пример:
Построение многогранников
Для построения многогранников в Mathcad есть функция Polyhedron. Её можно использовать двумя способами:
1) по имени, тогда обращение к функции будет Polyhedron(“имя многогранника”);
2) по коду, тогда обращение к функции будет Polyhedron(“#номер многогранника”).
Построение поверхностей вращения.
Для построения поверхностей вращения в Mathcad удобно использовать функцию CreateMesh.
Параметры функции CreateMesh:
- x1, y1,z1 – матрицы значений для каждой координаты;
- -5 – нижняя граница переменной u;
- 5 – верхняя граница переменной u;
- 0 – нижняя граница переменной v;
- 2π – верхняя граница переменной v;
- 30 – количество линий в сетке графика.
Параметрические уравнения для поворота вокруг оси Ох:
x1(x,φ):=x
y1(x,φ):=y(x) . cos(φ)
z1(x,φ):=y(x) .sin(φ)
Параметрические уравнения для поворота вокруг оси Oy:
х2(x,φ):=x.cos(φ)
у2(x,φ):=у(x)
z2(x,φ):=x.sin(φ)
Пример: рассмотрим гиперболу y2 – x2 = 1. При вращении этой гиперболы вокруг оси Ох получается однополостный гиперболоид, при вращении вокруг оси Оу – двуполостный гиперболоид. Построим эти поверхности вращения:
Построение пространственных линий.
Линия в пространстве, рассматриваемая как след движущейся точки, представляется системой трёх уравнений: x = x(t); y = y(t); z = z(t), выражающих координаты точки t. Эти уравнения называются параметрическими уравнениями пространственной линии. Для построения пространственных линий в Mathcad существует функция CreateSpace.
Функция CreateSpace относится к категории Vector and matrix (Векторы и матрицы), так как результатом работы функции будет матрица координат. Работает аналогично CreateMesh. Главное отличие в том, что параметрические уравнения должны быть функциями одной переменной, а не двух, как в CreateMesh. Вызов функции: CreateSpace(F, t1, t2, tgrid). Параметры функции:
- F – вектор параметрических уравнений координат;
- t1 – нижняя граница переменной;
- t2 – верхняя граница переменной;
- tgrid – число линий сетки; не обязательный параметр; чем больше этот параметр, тем более гладкая получается линия; если он не достаточно велик, линия получается с изломами.
Пример:
Maple. Построение поверхностей и пространственных линий.
График поверхности, заданной явной функцией.
График функции
можно нарисовать, используя команду plot3d(f(x,y), x=x1…x2, y=y1…y2, options). Параметры этой команды частично совпадают с параметрами команды plot. К часто используемым параметрам команды plot3d относится light=[angl1, angl2, c1, c2, c3] – задание подсветки поверхности, создаваемой источником света из точки со сферическими координатами (angl1, angl2). Цвет определяется долями красного (c1), зеленого (c2) и синего (c3) цветов, которые находятся в интервале [0,1]. Параметр style=opt задает стиль рисунка: POINT –точки, LINE – линии, HIDDEN – сетка с удалением невидимых линий, PATCH – заполнитель (установлен по умолчанию), WIREFRAME – сетка с выводом невидимых линий, CONTOUR – линии уровня, PATCHCONTOUR – заполнитель и линии уровня. Параметр shading=opt задает функцию интенсивности заполнителя, его значение равно xyz – по умолчанию, NONE – без раскраски.Привер: построим поверхность x2 + 4z = 4. Так как z в первой степени, то его можно выразить и сделать функцию явной, получим, z = . Вводимв Maple:
with (plots) : plot3d({ + 0 . y2}, x=-5..5, y = -5..5, grid = [25,25], axes=NORMAL)
График поверхности, заданной неявно.
Трехмерный график поверхности, заданной неявно уравнением
, строится с помощью команды пакета plot: implicitplot3d(F(x,y,z)=c, x=x1..x2, y=y1..y2, z=z1..z2), где указывается уравнение поверхности 
и размеры рисунка по координатным осям. 
Пример: построим поверхность 
Очевидно, что функция задана неявно, поэтому используем алгоритм, описанный выше. 
График поверхности, заданной параметрически.
Если требуется построить поверхность, заданную параметрически: x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v), то эти функции перечисляются в квадратных скобках в команде: plot3d([x(u,v), y(u,v), z(u,v)], u=u1..u2, v=v1..v2).
Пример: построить поверхность заданную параметрически: х = 2.u + v, y= v.cos(u),
z = v.sin(u). Для начала зададим функции Х0, Y0, Z0, соответствующие функциям х, у, z.
График пространственных кривых.
В пакете plot имеется команда spacecurve для построения пространственной кривой, заданной параметрически:
. Параметры команды: spacecurve([x(t),y(t),z(t)],t=t1..t2), где переменная t изменяется от t1 до t2.Пример: построить пространственную кривую, заданную параметрически х = arctg(t),
y = arcctg(t), z = t.
В Maple также существует возможность построения нескольких графиков одновременно. Для этого необходимо задать каждую поверхность, а затем использовать команду display. Пример:
