Информатика и компьютерная техника (стр. 5 из 15)
1011 1100 101 110 111 000 001 010 011 0100 0101
 |
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Числа, стоящие по разные стороны от нуля, являются взаимно дополнительными, то есть их сумма всегда равна 0. Чтобы представить двоичное число в дополнительной форме, его инвертируют (заменяют 0 на 1, а 1 – на 0) прибавляют к нему 1. Операция вычитания выполняется путем сложения дополнительных кодов.
Пример:
Выполнить вычитание 10111,1–1010,1.
На первом этапе необходимо указанные числа выровнять по значности (они должны иметь одинаковое количество разрядов) и представить в дополнительном коде.
[10111,1]доп.= 0 10111,1
[ –01010,1]доп.= 1 10101,0 + 00000,1 = 1 10101,1.
На втором этапе выполняется вычитание как сложение с дополнительным числом, то есть:
0 10111,1
+ 1 10101,1
 |
0 01101,0 = 1101.
Операции умножения, деления, возведения в степень и вычисления функций процессор не выполняет, их необходимо выполнять программным путем, используя сдвиги влево и вправо. Сдвиг двоичного числа на одну позицию влево приводит к его удвоению подобно тому, так сдвиг десятичного числа на одну позицию вправо – к его уменьшению на 10. Сдвиг двоичного числа на одну позицию вправо делит его пополам.
Контрольные вопросы и примеры
1. Что понимается под системой счисления?
2. Чем отличается позиционная система счисления от непозиционной?
3. Дайте определение базиса и основания позиционной системы счисления.
4. Как перевести число из 10→ 2, из 10→ 16?
5. Как перевести число из 2→ 10, из 8→10, из 16→10?
6. Каков принцип построения позиционных систем счисления?
7. Как изображаются числа в дополнительном коде?
8. Опишите схему вычитания чисел с помощью дополнительного кода.
9. Перевести числа из одной системы счисления в другую:
а) 625(10)→(2);б) 3628,5(10) →(16);в) 1024,4(10) → (8);
г) 134,6(8) →(10);д) –ВСО(16) →(10).
10. Записать числа в дополнительном коде:
а) 1563,04(10) г) –3А01(16)
б) –2,149(10)д) –01010,101(2)
в) –0,1001101(2)е) –37,54(8)
11. Выполните арифметические операции в двоичной системе:
а) 1011,11б)1011,101
+ 101,11 - 110,11
12. Комплексное задание: в таблице 2 приведены по вариантам числа в десятичной, двоичной и восьмеричной системах счисления:
Таблица 2.Системы счисления
| № варианте | Десятичная система | Двоичная система | Восьмеричная система |
| 1 | 2 | 3 | 4 |
| 1 | 107.99 | 1100101.100100 | 152.01 |
| 2 | 357.94 | 1000111.011111 | 204.31 |
| 3 | 273.66 | 1111001.001110 | 110.44 |
| 4 | 845.76 | 1111010.100101 | 243.25 |
| 5 | 214.38 | 1110010.010101 | 743.56 |
| 6 | 584.16 | 1010101.100111 | 676.43 |
| 7 | 343.37 | 1101100.010011 | 114.53 |
| 8 | 128.69 | 1110101.000111 | 631.04 |
| 9 | 513.76 | 1010111.111001 | 204.33 |
| 10 | 778.47 | 1111001.010111 | 301.75 |
Выполнить:
1) перевести число из 10-ой системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную;
2) перевести число из 2-ой системы счисления в десятичную и восьмеричную;
3) перевести число из восьмеричной системы счисления в десятичную и двоичную системы;
4) выполнить сложение чисел, находящихся в 2 и 4 графах таблицы 2, пользуясь двоичной арифметикой;
5) выполнить вычитание двоичных чисел, находящихся в тех же графах таблицы 2.
Основы математической логики
В математических и других рассуждениях постоянно встречаются повествовательные предложения, образованные путем видоизменения некоторого предложения с помощью слова не или связывания предложений с помощью слов и, или, если …, то (или влечет), тогда и только тогда, когда. Эти пять слов или комбинаций слов называются сентенциональными связками. Они являются основой для построения сложных предложений (т.е. таких повествовательных предложений в которых содержится одна или более чем одна связка), составленных их простых предложений (т.е. таких, каждое из которых или не содержит связку, или рассматривается как «неразложимое»).
Повествовательное предложение о котором можно сказать истинно оно или ложно мы будем называть высказыванием. Множество повествовательных предложений и сентенциональных связок образует исчисление высказываний. Если обозначать высказывания большими латинскими буквами и ввести для сентенциональных связок условные обозначения (значки), то можно перейти к логическим формулам результатом которых будут логические значения – истина или ложь.
Дадим определения для основных логических операций.
1. Конъюнкцией (или операцией логического умножения) двух высказываний A и B называют высказывание C, которое истинно тогда и только тогда, когда истины оба высказывания входящие в конъюнкцию. Конъюнкция (иногда логическое «и») обозначается значком
и записывается так: A B.2. Дизъюнкцией (или операцией логического сложения) двух высказываний A и Bназывают высказывание C, которое ложно тогда и только тогда, когда ложны оба высказывания входящие в дизъюнкцию. Дизъюнкция (иногда логическое «или») обозначается значком Ú и записывается так: AÚB.
3. Отрицанием высказыванияA называют высказывание B которое ложно тогда и только тогда когда истинно исходное высказываниеA, обозначают
(иногда ØA).4. Импликация высказываний (или условное предложение) обозначается AÞB и задается с помощью следующей таблицы, называемой таблицей истинности для импликации:
4. Эквиваленция или эквивалентность двух высказываний обозначается AÛB и задается следующей таблицей истинности:
Среди всех сложных высказываний или логических формул наибольший интерес представляют такие, которые принимают значение истина при любых истинностных значениях входящих в них логических переменных (высказываний). Они называются тождественно истиннымивысказываниями или тавтологиями, обозначаются значком . Для доказательства общезначимости логических формул (того, что формула есть тавтология) пользуются таблицами истинности или применяют основные законы эквивалентности математической логики, которые также доказываются применением таблиц истинности.Законы эквивалентности
1. Законы коммутативности (они позволяют переставлять операнды Ù,Ú и Û):
(AÙB)Û(BÙA)
(AÚB)Û(BÚA)
(AÛB)Û(BÛA)
2. Законы ассоциативности (они позволяют нам пренебрегать скобками):
(AÙB) ÙСÛA Ù(BÙC)
(AÚB) ÚСÛA Ú(BÚC)
3. Законы дистрибутивности (они позволяют раскрывать скобки):
AÚ(BÙС)Û (A ÚB)Ù(AÚC)
AÙ(BÚС)Û (A ÙB)Ú(AÙC)
4. Законы де Моргана:
Ø(AÙB)ÛØAÚØB
Ø(AÚB)ÛØAÙØB
5. Закон отрицания:Ø(ØA) ÛA
6. Закон исключенного третьего: AÚØAÛ истина
7. Закон противоречия: AÙØAÛ ложь
8. Закон импликации: (AÞB)Û( ØAÚB)
9. Закон равенства: (AÛB)Û (AÞB)Ù(BÞA)
10. Законы упрощения Ú:
AÚAÛA
AÚИстина ÛИстина
AÚЛожьÛА
АÚ(АÙВ)ÛА.
11. Законы упрощения Ù:
АÙАÛА
АÙИстинаÛА
АÙЛожьÛЛожь
АÙ(АÚВ)ÛА
12. Закон тождества:
АÛА.
Операции математической логики имеют свое старшинство, т.е. порядок их выполнения: 1) Ø, 2) Ù, 3) Ú, 4) Þ, 5) Û.
Пример 1. Доказать общезначимость формулы:(АÛВ)Ù(ВÛС)Þ(АÛС)
Для доказательства воспользуемся таблицей истинности. Заметим, что количество строк в такой таблице равно 8 (2n – где, n – количество логических переменных).
Будем в таблице истину обозначать – и, а ложь – л.
| А | В | С | АÛВ | ВÛС | (АÛВ)Ù(ВÛС) | АÛС | Вся формула |
| и | и | и | и | и | и | и | и |
| и | и | л | и | л | л | л | и |
| и | л | и | л | л | л | и | и |
| л | и | и | л | и | л | л | и |
| и | л | л | л | и | л | л | и |
| л | и | л | л | л | л | и | и |
| л | л | и | и | л | л | л | и |
| л | л | л | и | и | и | и | и |
Пример 2. Используя основные законы эквивалентности доказать эквивалентность формул U и V, когда