Программа для анализа параметров и характеристик реализации случайного процесса (стр. 2 из 3)
2. КФ является четной функцией своего аргумента τ:
.3. Значение КФ при τ = 0 является максимально возможным значением:
4. C ростом абсолютного значения τ КФ сигнала с конечной энергией затухает:
5. Если сигнал s(t) не содержит особенностей в виде дельта-функций, его КФ не может иметь разрывов (то есть обязана быть непрерывной функцией).
6. Если сигнал — напряжение, то размерность его КФ равна В2 • с.
1.3.2 Взаимная корреляционная функция
Если КФ показывает степень сходства между сдвинутыми копиями одного и того же сигнала, то взаимная корреляционная функция (ВКФ; английский термин — cross-correlationfunction, CCF) позволяет измерить аналогичную величину для сдвинутых экземпляров двух разных сигналов.
Общий вид формулы КФ сохраняется, но под интегралом стоит произведение двух разных сигналов, один из которых задержан на время τ.
Свойства ВКФ несколько отличаются от свойств КФ:
1.
, где 
и 
— энергии сигналов s1(t) и s2(t).2.
, то есть изменение знака τ равносильно взаимной перестановке сигналов.3. Значение ВКФ приτ = 0 ничем не выделяется; максимум может быть расположен в любом месте оси
.4. С ростом абсолютного значения т ВКФ сигналов с конечной энергией затухает:
5. Если сигналы s1(t) и s2(t) не содержат особенностей в виде дельта-функций, их ВКФ не может иметь разрывов (то есть обязана быть непрерывной функцией).
6. Если сигналы — напряжение, то размерность их ВКФ равна В2 • с.
Для периодических сигналов понятие ВКФ обычно не применяется, хотя оно может быть введено в случае, если сигналы s1(t) и s2(t) имеют одинаковый период.
1.3.3 Связь между корреляционными функциями и спектрами
сигналов
Поскольку как корреляционные функции, так и спектры являются интегральными преобразованиями анализируемых сигналов, логично предположить, что эти характеристики как-то связаны друг с другом. Для выявления этой связи подвергнем взаимную корреляционную функцию преобразованию Фурье, считая, что сигналы s1(t) и s2(t) имеют спектральные функции
и 
: 
Полученный результат очень прост: ВКФ связана преобразованием Фурье с так называемым взаимным спектром сигналов. Взаимный спектр
для сигналов s1(t) и s2(t) представляет собой произведение их спектральных функций, одна из которых подвергнута комплексному сопряжению: 
.Отсюда можно сделать очень важный вывод: если спектры сигналов не перекрываются, то их взаимный спектр равен нулю на всех частотах, а значит, равна нулю и их ВКФ при любых временных сдвигах τ. Таким образом, сигналы с неперекрывающимися спектрами являются некоррелированными.
Приняв s1(t) = s2(t) = s(t), получаем аналогичный результат для КФ:
Итак, КФ сигнала связана преобразованием Фурье с квадратом модуля спектральной функции, или с энергетическим спектром сигнала.
Отсюда следует еще один важный факт: КФ сигнала не зависит от его фазового спектра. Следовательно, сигналы, амплитудные спектры которых одинаковы, а фазовые различаются, будут иметь одинаковую КФ. Еще одно следствие заключается в том, что по КФ нельзя восстановить исходный сигнал (опять же из-за утраты информации о фазе).
1.4 Спектр дискретного случайного процесса
Для определения спектральных характеристик дискретного случайного процесса используется тот же подход, что и в аналоговом случае, т.е. усредняется спектр мощности:
Черта сверху обозначает здесь усреднение по ансамблю реализаций. Если процесс эргодический, спектр мощности для всех реализаций является одинаковым и выполнять усреднение по ансамблю не обязательно.
Выполнять вычисления непосредственно по данной формуле неудобно, поэтому попробуем привести ее к более приемлемому виду. Для этого раскроем выражение для квадрата модуля:
Суммируемые слагаемые зависят от разности индексов k и m, поэтому можно преобразовать двойную сумму в одиночную:
поскольку при любом l:
окончательно получаем
Это выражение представляет собой дискретный аналог теоремы Винера-Хинчина: «Спектр дискретного случайного процесса является преобразованием Фурье от его корреляционной функции».
1.4.1 Непараметрические методы расчета
При использовании непараметрических методов расчета спектра случайного процесса используется только информация, заключенная в отсчетах сигнала, без каких-либо дополнительных предположений. Мы кратко рассмотрим два таких метода — периодограмму и метод Уэлча (Welch).
Периодограмма
Этим термином — периодограмма (periodogram) — называется оценка спектральной плотности мощности, полученная по N отсчетам одной реализации случайного процесса согласно определению (1) (естественно, не путем взятия предела, а усреднением конечного числа слагаемых). Таким образом, периодограмма рассчитывается по следующей формуле:
Деление на частоту дискретизации
необходимо для получения оценки спектральной плотности мощности аналоговогослучайного процесса, восстановленного по отсчетам x(k).Если при расчете спектра используется весовая функция (окно) с коэффициентами w(k), формула (2) слегка модифицируется — вместо числа отсчетов Nbзнаменателе должна стоять сумма квадратов модулей коэффициентов окна. Полученная оценка спектра мощности называется модифицированной периодограммой (modified periodogram):
Периодограмма не является состоятельной оценкой спектральной плотности мощности, поскольку дисперсия такой оценки сравнима с квадратом ее математического ожидания. С ростом числа используемых отсчетов значения периодограммы начинают все быстрее флуктуировать.
Метод Уэлча.
При вычислении периодограммы по длинному фрагменту случайного сигнала она оказывается весьма изрезанной. Для уменьшения этой изрезанности необходимо применить какое-либо усреднение. Даньелл (Daniell) предложил сглаживать быстрые флуктуации выборочного спектра путем усреднения по соседним частотам спектра. Данный метод, называемый периодограммой Даньелла, сводится к вычислению свертки периодограммы со сглаживающей функцией. В методе Бартлетта (Bartlett) анализируемый сигнал делится на неперекрывающиеся сегменты, для каждого сегмента вычисляется периодограмма и затем эти периодограммы усредняются. Если корреляционная функция сигнала на длительности сегмента затухает до пренебрежимо малых значений, то периодограммы отдельных сегментов можно считать независимыми. В этом случае дисперсия периодограммы Бартлетта обратно пропорциональна числу используемых сегментов, однако с ростом числа сегментов при фиксированном общем числе отсчетов сигнала падает спектральное разрешение (за счет того, что сегменты становятся короче).
Уэлч (Welch) внес в метод Бартлетта два усовершенствования: использование весовой функции и разбиение сигнала на перекрывающиеся фрагменты. Применение весовой функции позволяет ослабить растекание спектра и уменьшить смещение получаемой оценки спектра плотности мощности ценой незначительного ухудшения разрешающей способности. Перекрытие сегментов введено для того, чтобы увеличить их число и уменьшить дисперсию оценки.
Итак, вычисления при использовании метода Уэлча (он называется еще методом усреднения модифицированных периодограмм — averagedmodifiedperiodogrammethod) организуются следующим образом:
1. Вектор отсчетов сигнала делится на перекрывающиеся сегменты. Как правило, на практике используется перекрытие на 50 %. Строго говоря, оптимальная степень перекрытия зависит от используемой весовой функции.