Логический вывод на основе нечеткой метаимпликации (стр. 1 из 2)
О.А. Мелихова
В работе подробно рассмотрена суть логического вывода на основе нечеткой метаимпликации, с помощью примеров показана максиминная свертка нечетких отношений, используемая в моделях принятия решений и при распознавании нечетких образов.
При выполнении нечетких выводов используются нечеткие соответствия R, заданные между одной проблемной областью (множество X) и другой областью (множество Y) в виде нечеткого подмножества прямого произведения
, определяемого по формуле [7,13]: 
, (1.1)где
– область отправления, 
– область прибытия, 
– функция принадлежности 
нечеткому соответствию R, а знак 
означает совокупность (объединение) множеств.Если существует правило типа “если A, то B”, использующее нечеткие множества A
и B 
, то один из способов построения нечеткого соответствия R состоит в следующем: 
или
, (1.2)где
– функции принадлежности элементов x, y соответственно множествам A и B.Пример 1. Пусть X и Y- области натуральных чисел от 1 до 4. Определим следующим образом нечеткие множества: A= “маленькие”, B= “большие”.
X=Y={1,2,3,4}, т.е. для примера взят частный случай соответствия- отношение на множестве {1,2,3,4}:
.Для примера “если x маленькое, то y большое” (или
, где знак означает операцию нечеткой метаимпликации) можно построить нечеткое отношение R следующим образом: | y1 | y2 | y3 | y4 | ||
| x1 | 0 | 0,1 | 0,6 | 1 | |
| R= | x2 | 0 | 0,1 | 0,6 | 0,6 |
| x3 | 0 | 0,1 | 0,1 | 0,1 | |
| x4 | 0 | 0 | 0 | 0 |
В качестве элементов матрицы R записаны значения
, вычисленные по формуле (1.2).Для свертки нечетких отношений чаще выбирается свертка max-min (максиминная композиция). Пусть R – нечеткое соответствие множества X и множества Y, а S – нечеткое соответствие множества Y и множества V. Тогда нечеткое соответствие между X и V определяется как свертка (композиция)
, где 
или
. (1.3)Пример 2. Пусть
и заданы нечеткие множества A 
= “не маленькие”, H 
= “очень большие”, где 
.Тогда для правила “если y не маленькое, то v очень большое” (или
), в соответствии с формулой (1.2) нечеткое соответствие S определяется как | v1 | v2 | v3 | v4 | ||
| y1 | 0 | 0 | 0 | 0 | |
| S= | y2 | 0 | 0 | 0,4 | 0,4 |
| y3 | 0 | 0 | 0,5 | 0,9 | |
| y4 | 0 | 0 | 0,5 | 1 |
Если теперь по формуле (1.3) вычислить свертку max-min с нечетким отношением R, полученным в примере 1.1, то из двух отношений:
если x маленькое, то y большое,
если y не маленькое, то v очень большое
можно построить нечеткое отношение из X в V.
| y1 | y2 | y3 | y4 | v1 | v2 | v3 | v4 | |||||||||||
| x1 | 0 | 0,1 | 0,6 | 1 | y1 | 0 | 0 | 0 | 0 | |||||||||
| = | x2 | 0 | 0,1 | 0,6 | 0,6 |  | y2 | 0 | 0 | 0,4 | 0,4 | = | ||||||
| x3 | 0 | 0,1 | 0,1 | 0,1 | y3 | 0 | 0 | 0,5 | 0,9 | |||||||||
| x4 | 0 | 0 | 0 | 0 | y4 | 0 | 0 | 0,5 | 1 | |||||||||
| v1 | v2 | v3 | v4 | |||||||||||||||
| x1 | 0 | 0 | 0,5 | 1 | ||||||||||||||
| = | x2 | 0 | 0 | 0,5 | 0,6 | |||||||||||||
| x3 | 0 | 0 | 0,1 | 0,1 | ||||||||||||||
| x4 | 0 | 0 | 0 | 0 | ||||||||||||||
Модель принятия решений на основе композиционного правила вывода описывает связь всех возможных состояний сложной системы с управляющими решениями. Формально модель задается в виде тройки (X,R,Y), где
– базовые множества, на которых заданы, соответственно, входы 
и выходы 
системы, R – нечеткое соответствие “вход-выход”. Соответствие R строится на основе словесной качественной информации специалиста (эксперта), путем непосредственной формализации его нечетких стратегий. Эксперт описывает особенности принятия решений при функционировании сложной системы в виде ряда высказываний типа “если 
, то 
, иначе, если 
, то 
, иначе, ..., если 
, то 
”. Здесь , ,..., – нечеткие подмножества, определенные на базовом множестве X, а , ,..., – нечеткие подмножества из базового множества Y. Все эти нечеткие подмножества задаются функциями принадлежности 
и 
.Способ построения нечеткого отношения связывает высказывания эксперта по правилу “если
, то ” и определяется функцией принадлежности 
, получаемой по формуле (1.2). Связка “иначе” между правилами понимается как или-связка, поскольку общее нечеткое отношение состоит из: правило 1, или правило 2 , или, ..., или правило N. Поэтому общее отношение R формально определяется следующим образом: 
, где i=1,..., N. (1.4)Если предположить, что мы имеем нечеткое событие
, т.е. входную ситуацию, представленную нечетким подмножеством, и известно общее отношение R, тогда результирующее действие выводится по композиционному правилу вывода: 
. Значение функции принадлежности для 
вычисляется посредством максиминной операции, определяемой уравнением 
. (1.5)Рассмотренный логический вывод на основе нечеткой обобщенной метаимпликации хорошо зарекомендовал себя при использовании в экспертных системах, а также при принятии решений в реальном масштабе времени в задачах управления и контроля.