Вычисление площадей криволинейных эпюр изгибающих моментов с использованием численных методов (стр. 2 из 4)
2) Квадратурная формулы трапеций.
3) Квадратурная формула Симпсона.
Рассмотрим поподробнее способ квадратурных формул прямоугольников.
Квадратурные формулы прямоугольников
Отрезок интегрирования [a,b] разбиваем на n равных отрезков и получаем n+1 равноудаленных точек: x0=a, xn=b, xi+1=xi+h, i=(0,1,…,n-1), где h шаг разбивки. При этом обозначим
.Площадь каждой элементарной криволинейной трапеции заменим площадью прямоугольника с основанием h и высотой
, где 
i=0,1,2,…,n-1 
В зависимости от выбора mi существует несколько формул прямоугольников.
· Формула «левых» (входящих) прямоугольников, когда mi=xi:
(2.8)· Формула «правых» (выходящих) прямоугольников, когда mi=xi-1
(2.9)· Формула «средних» прямоугольников, когда mi=xi+h/2
(2.10)Пример нахождения площади криволинейной трапеции
Найдем площадь криволинейной трапеции методом «левых» (входящих) прямоугольников.
Из графика видно, что искомая площадь будет состоять из 2-х площадей:
(2.11)В моем случае a=0,7, b=4, x* - решение нелинейного уравнения (найденное ранее). х*=1,307456037.
Найдем S1. Для этого, как говорилось ранее, разобьем отрезок от a до x* для начала на 5 частей. Шаг вычислим по формуле
. В нашем случае h=0,121491207. Составим таблицу вида: | x` | y` |
| 0,821491207 | -0,240341227 |
| 0,942982415 | -0,184434792 |
| 1,064473622 | -0,128303731 |
| 1,185964829 | -0,067263095 |
| 1,307456037 | -0,000119456 |
где x`=x+h, y`=y(x`), т.к. функция до корня x* лежит в отрицательной области, то формула для метода входящих прямоугольников будет выглядеть:
Получаем, что I=0,075380714. Теперь уменьшаем шаг в 2 раза, т.е. увеличиваем количество разбиений в 2 раза, тогда получаем h=0,060745604.
| x` | y` |
| 0,760745604 | -0,271918938 |
| 0,821491207 | -0,240341227 |
| 0,882236811 | -0,211870637 |
| 0,942982415 | -0,184434792 |
| 1,003728018 | -0,156813572 |
| 1,064473622 | -0,128303731 |
| 1,125219226 | -0,098518017 |
| 1,185964829 | -0,067263095 |
| 1,246710433 | -0,034464413 |
| 1,307456037 | -0,000119456 |
Получаем значение интеграла: I=0,08468228, определим е по формуле (2.6). В нашем случае e=0,023936676.
Опять уменьшаем шаг в 2 раза и получаем 20 разбиений с h=0,030372802.
| x` | y` |
| 0,730373 | -0,289886259 |
| 0,760746 | -0,271918938 |
| 0,791118 | -0,255565552 |
| 0,821491 | -0,240341227 |
| 0,851864 | -0,225872242 |
| 0,882237 | -0,211870637 |
| 0,91261 | -0,198114836 |
| 0,942982 | -0,184434792 |
| 0,973355 | -0,170700579 |
| 1,003728 | -0,156813572 |
| 1,034101 | -0,142699619 |
| 1,064474 | -0,128303731 |
| 1,094846 | -0,113585932 |
| 1,125219 | -0,098518017 |
| 1,155592 | -0,083080997 |
| 1,185965 | -0,067263095 |
| 1,216338 | -0,05105816 |
| 1,24671 | -0,034464413 |
| 1,277083 | -0,017483449 |
| 1,307456 | -0,000119456 |
I=0,089359684. е=0,004677404, что удовлетворяет заданной точности. Тогда получаем, что
Аналогично рассмотрим участок от x* до b. Т.к. функция лежит в положительной области, то вычисляем интеграл по формуле (2.8). Разбиваем участок на 5 частей, тогда h=0,538508793
| x` | y` |
| 1,307456 | -0,000119456 |
| 1,845965 | 0,361577144 |
| 2,384474 | 0,791667672 |
| 2,922982 | 1,258463933 |
| 3,461491 | 1,746382321 |
| 4 | 2,247403959 |
Получаем, что I=3,449351066
Уменьшаем шаг в 2 раза, значит увеличиваем число разбиений до 10. получаем шаг h=0,269254396
| x` | y` |
| 1,307456 | -0,000119456 |
| 1,57671 | 0,169269369 |
| 1,845965 | 0,361577144 |
| 2,115219 | 0,570568282 |
| 2,384474 | 0,791667672 |
| 2,653728 | 1,021701245 |
| 2,922982 | 1,258463933 |
| 3,192237 | 1,500398398 |
| 3,461491 | 1,746382321 |
| 3,730746 | 1,995590368 |
| 4 | 2,247403959 |
Получаем, что I=3,14028797, e=0,309063096.
Точность не удовлетворяет заданной, поэтому увеличиваем число разбиений до 10. h=0,134627198.
| x` | y` |
| 1,307456 | -0,000119456 |
| 1,442083 | 0,081270693 |
| 1,57671 | 0,169269369 |
| 1,711338 | 0,262985166 |
| 1,845965 | 0,361577144 |
| 1,980592 | 0,464311544 |
| 2,115219 | 0,570568282 |
| 2,249846 | 0,679830178 |
| 2,384474 | 0,791667672 |
| 2,519101 | 0,905723836 |
| 2,653728 | 1,021701245 |
| 2,788355 | 1,139351027 |
| 2,922982 | 1,258463933 |
| 3,05761 | 1,378863128 |
| 3,192237 | 1,500398398 |
| 3,326864 | 1,622941481 |
| 3,461491 | 1,746382321 |
| 3,596118 | 1,870626018 |
| 3,730746 | 1,995590368 |
| 3,865373 | 2,121203847 |
| 4 | 2,247403959 |
Получаем, что I=2,987378894, е=0,152909076. Данная точность не удовлетворяет заданную, поэтому продолжаем разбиение.
Увеличиваем число разбиений до 40. h=0,134627198
| x` | y` |
| 1,307456 | -0,000119456 |
| 1,37477 | 0,039695527 |
| 1,442083 | 0,081270693 |
| 1,509397 | 0,124499597 |
| 1,57671 | 0,169269369 |
| 1,644024 | 0,215467404 |
| 1,711338 | 0,262985166 |
| 1,778651 | 0,311720214 |
| 1,845965 | 0,361577144 |
| 1,913278 | 0,412467875 |
| 1,980592 | 0,464311544 |
| 2,047906 | 0,517034183 |
| 2,115219 | 0,570568282 |
| 2,182533 | 0,624852304 |
| 2,249846 | 0,679830178 |
| 2,31716 | 0,735450821 |
| 2,384474 | 0,791667672 |
| 2,451787 | 0,848438265 |
| 2,519101 | 0,905723836 |
| 2,586414 | 0,963488964 |
| 2,653728 | 1,021701245 |
| 2,721042 | 1,080331004 |
| 2,788355 | 1,139351027 |
| 2,855669 | 1,198736328 |
| 2,922982 | 1,258463933 |
| 2,990296 | 1,318512697 |
| 3,05761 | 1,378863128 |
| 3,124923 | 1,439497237 |
| 3,192237 | 1,500398398 |
| 3,25955 | 1,561551229 |
| 3,326864 | 1,622941481 |
| 3,394178 | 1,684555937 |
| 3,461491 | 1,746382321 |
| 3,528805 | 1,808409222 |
| 3,596118 | 1,870626018 |
| 3,663432 | 1,933022811 |
| 3,730746 | 1,995590368 |
| 3,798059 | 2,058320067 |
| 3,865373 | 2,121203847 |
| 3,932686 | 2,184234166 |
| 4 | 2,247403959 |
Получаем I=2,911333086, e=0,076045808 что удовлетворяет заданной точности. Значит:
Тогда можем найти искомую площадь, которая будет находиться по формуле:
S=3,000692769.
Вывод: полученная площадь вычислена с точность e=0,1, при этом количество разбиений до корня равно 10, а полсе корня – 40.
Аппроксимация
Задачи и способы аппроксимации
Большинство численных методов основаны на замене одной функции f(x) другой функцией φ(x). Как правило φ(x) обладает «хорошими» свойствами и является «удобной» при аналитических и вычислительных операциях. Такую замену называют аппроксимацией.
Таким образом, задача аппроксимации функции f(x) функций φ(x).состоит в построении функции φ(x) близкой к функции f(x) на некотором отрезке [a,b].
Для решения этой задачи необходимо ответить на ряд вопросов, а именно:
1. что известно о функции f(x). Задана она аналитически или таблицей своих значений, какова степень её гладкости.
2. какую функцию φ(x) выбрать в качестве аппроксимирующей функции.
3. что понимать под близостью между f(x) иφ(x), т.е. какова степень приближения.
Термин близости двух функций понимается по-разному в зависимости от обстоятельств. При этом мы получаем различные задачи теории приближения, из которых рассмотрим интерполирование и среднеквадратичное отклонение.
Среднеквадратичное приближение
Исходные данные для построения тех или иных измерений имеют заведомо приближенный характер. Эти данные содержат погрешности измерительной аппаратуры, погрешности условий эксперимента, случайные ошибки и пр.
Предположим, что при обработке результатов какого-либо эксперимента обнаружена некая функциональная зависимость y=f(x). Эта зависимость представлена в таблице зачтений yi, полученных в ходе эксперимента yi