Вычисление площадей криволинейных эпюр изгибающих моментов с использованием численных методов (стр. 3 из 4)
| xi | x1 | x2 | … | xn |
| yi | y1 | y2 | … | yn |
Если аналитическое выражение функции f(x) неизвестно или весьма сложно, то возникает задача найти функцию y= φ(x), значения которой при x=xi мало отличались бы от опытных данных. Таким образом исследуемая зависимость аппроксимируюется функцией y= φ(x) на отрезке [xi,xn]:
φ(x) (3.1)Аппроксимирующая функция y=f(x) называется эмпирической формулой или уравнением регрессии.
Для чего нужна эта зависимость?
Если приближение (3.1) найдено, то можно:
· просчитать значение yдля любого значения аргумента;
· сделать прогноз о поведении функции вне исследуемого отрезка;
· выбрать оптимальное направление развития исследуемого процесса.
Уравнение регрессии может иметь различный вид и различный уровень сложности в зависимости от особенностей исследуемого объекта и необходимости точности представления.
Геометрически задача построения уравнения регрессии состоит в проведении кривой L: y=f(x) «возможно ближе» примыкающей к экспериментальных точек.
Построение уравнения регрессии состоит из 2 этапов:
1. выбор общего вида уравнения регрессии,
2. определения его параметров.
Часто в качестве уравнения регрессии выбирают полином
φ(x) 
(3.2)
Вторая задача решается методом наименьших квадратов.
Метод наименьших квадратов
Допустим, что результаты эксперимента предоставлены в таблице, представленной выше. И уравнение регрессии записывается в виде (3.2), т.е. зависимость от (m+1) параметра a0, a1, a2,…an:
(3.3)Эти параметры и определяют расположение графика эмпирической формулы относительно экспериментальных точек. Однако эти параметры определяются не однозначно. Требуется подобрать параметры так, чтобы график уравнения регрессии был расположен как можно ближе к системе экспериментальных точек.
Введем понятие отклонения значения уравнения регрессии (3.3) от табличного значения yi дляxi:
(3.4)Рассмотрим сумму квадратов отклонений
(3.5)Согласно МНК наилучшими коэффициентами ai являются те, которые минимизируют функцию S (3.5)
Используя необходимые условия экстремума функции нескольких переменных, получим нормальную систему для определения коэффициентов a0, a1, a2,…,am:
; 
;…; 
. (3.6)
Для аппроксимирующей функции (3.3) система (3.6) является системой линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных a0, a1, a2,…,am.
Если
, то существует бесконечно много многочленов (3.3), минимизирующих функцию (3.5). Если 
, то существует только один многочлен (3.3), минимизирующий функцию (3.5). Будем считать, что 
.Чем меньше m, тем проще тем проще эмпирическая формула, но это не всегда лучше.
Эмпирические формулы с двумя параметрами.
Метод выравнивания
Для описания многих технологических процессов используются эмпирические формулы, содержащие 2 параметра:
(3.7)Пусть заранее известно, что экспериментальные точки не лежат на одной прямой, для нахождения a, bиспользуется метод выравнивания.
Идея метода. Вводятся новые переменные
(3.8)так, чтобы преобразованные точки могли быть аппроксимированы линейной зависимостью
(3.9)Здесь
; 
Параметры А и В находятся методом наименьших квадратов.
Аппроксимация экспериментальной зависимость уравнением регрессии 3-го порядка
Поставим задачу аппроксимировать полученную ранее экспериментальную зависимость n(e) уравнением регрессии 3-го порядка, использую надстройку «Поиск решения».
| n | e |
| 1 | 0,199103875 |
| 2 | 0,070962641 |
| 3 | 0,027014272 |
| 4 | 0,008941238 |
| 5 | 0,002814733 |
| 6 | 0,000871947 |
| 7 | 0,000268761 |
Т.е. мы получим функцию вида:
(3.10)В качестве начальных приближений примем a=b=c=d=1. Формируем таблицу:
| n | e | Уравнение регресии | Квадрат отклонения |
| 1 | 0,199103875 | 1,246639174 | 0,567552534 |
| 2 | 0,070962641 | 1,076355684 | 3,700407455 |
| 3 | 0,027014272 | 1,027763757 | 8,834188283 |
| 4 | 0,008941238 | 1,009021899 | 15,92790621 |
| 5 | 0,002814733 | 1,002822678 | 24,97178119 |
| 6 | 0,000871947 | 1,000872708 | 35,98952827 |
| 7 | 0,000268761 | 1,000268833 | 1,000537739 |
| Сумма квадратов: | 90,99190167 |
где, квадрат отклонения находится по формуле:
(3.11)Теперь нашей задачей является минимизация суммы квадратов отклонений. Мы можем это сделать путем изменения коэффициентов a, b, c, d. Для поиска оптимальных значений выполним команду:
Меню Сервис\Поиск решения
После этого значения a, b, c, dизменятся на: a=4,261463435, b=41,97251008, c=-1192,303823, d=4643,463328.
Тогда получаем следующую таблицу измененных значений:
| n | e | Уравнение регресии | Квадрат отклонения |
| 1 | 0,199103875 | 2,003229556 | 1,043E-05 |
| 2 | 0,070962641 | 2,895188031 | 0,010985549 |
| 3 | 0,027014272 | 4,616753916 | 0,380385393 |
| 4 | 0,008941238 | 4,544749241 | 0,207253253 |
| 5 | 0,002814733 | 4,370262104 | 2,656045611 |
| 6 | 0,000871947 | 4,297157819 | 7,305355855 |
| 7 | 0,000268761 | 4,272657976 | 18,25560618 |
| Сумма квадратов: | 28,81564227 |
Найдем среднее квадратичное отклонение по формуле:
(3.12)В нашем случае
Построим графики обеих функций:
Аппроксимация эмпирической функцией с двумя параметрами
Нам заранее известно, что экспериментальные точки не лежат на одной прямой. А эмпирическая формула имеет вид:
(3.13)Прологарифмируем выражение (3.13)
и введем новые переменные:
(3.14)Обозначив A=lna; B=b, получим вид эмпирической функции в новой системе координат
Составим таблицу значений для этой функции:
| y* | x* |
| 0 | -1,61393 |
| 0,693147 | -2,6456 |
| 1,098612 | -3,61139 |
| 1,386294 | -4,71708 |
| 1,609438 | -5,87289 |
| 1,791759 | -7,04478 |
| 1,94591 | -8,22169 |
Неизвестные параметры А, В находим, используя МНК и строим нормальную систему
(3.15)Подставив численные значения получаем:
