Отделение корней. Графический и аналитический методы отделения корней (стр. 2 из 2)

, ,

, .

Таким образом корни уравнения могут лежать на интервалах

, .

Для определения количества действительных корней уравнения (2) необходимо воспользоваться теоремой Декарта: число положительных корней уравнения (2) с учетом их кратности равно числу перемен знаков в последовательности коэффициентов

(при этом равные нулю коэффициенты не учитываются) или меньше этого числа на четное число.

Теорема Декарта не требует больших вычислений, но не всегда дает точное количество действительных корней уравнения (2).

Замечание. Для определения количества отрицательных корней достаточно применить теорему Декарта к многочлену

.

Если уравнение (2) не имеет кратных корней на [a,b], то точное число действительных корней дает теорема Штурма.

Предположим, что уравнение (2)не имеет кратных корней. Обозначим через

производную ; через остаток от деления на , взятый с обратным знаком; через остаток от деления на , взятый с обратным знаком и т.д., до тех пор пока не придем к постоянной. Полученную последовательность

, , , …, (4)

назовем рядом Штурма.

Теорема Штурма: Число действительных корней уравнения f(x)=0, расположенных на отрезке [a,b], равно разности между числом перемен знаков в последовательности (4) при х=a и числом перемен знаков в последовательности (4) при х=b.

Замечание. Использование теоремы Штурма на практике, связано с большой вычислительной работой при построении рядя Штурма.

Пример. Отделить корни данного алгебраического уравнения, используя теорему Штурма:

Решение.

,

,

,

Построим таблицу для подсчета смены знаков:

-¥	-1	-0.4	0.5	1	¥
	-	-	+	+	+	+
	+	+	+	+	+	+
	-	-	-	-	-	+
	-	-	-	-	-	-
Число перемен знаков	2	2	1	1	1	1

Из таблицы подсчета смены знаков видно, что есть один корень данного уравнения, и он находится на [-1;-0.4].

4. Метод половинного деления (Дихотомии)

Пусть дано уравнение (1), где функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и f(a)f(b)<0. Для нахождения корня этого уравнения, принадлежащего данному отрезку [a,b], делим его пополам. Если значение

, то - корень уравнения. Если , то выбираем тот, из полученных отрезков или на концах которого функция f(x) имеет противоположные знаки. Новый отрезок полученный указанным способом снова делим пополам и процесс снова повторяем.

Продолжая этот процесс, получим либо точное значение корня уравнения или бесконечную последовательность вложенных друг в друга отрезков

, , …, , … таких, что , причем .

Замечание. Метод половинного деления практически удобно применять для грубого нахождения корня данного уравнения, т.к. при увеличении точности существенно возрастает объем вычислительной работы.

Пример. Уточнить корень уравнения

, лежащий на отрезке [0,1].

Решение.

.

1 этап: а=0,

,

b=1,

,

f(0)f(1)=-1<0

,

f(0)f(0.5)>0, значит корня на отрезке [0;0.5] нет.

f(0.5)f(1)<0, значит корень находится на [0.5;1].

2 этап: a=0.5, f(0.5)=-1.19

b=1, f(1)=1

,

f(0.5)f(0.75)>0, значит корня на отрезке [0.5;0.75] нет.

f(0.75)f(1)<0, значит корень находится на [0.5;1].

Дальше процесс продолжается аналогичным образом.

Список используемой литературы

1. Пирумов У. Г.. Численные методы : учебное пособие для вузов по направлению "Прикладная математика" / У. Г. Пирумов .— 3-е изд., испр. — Москва : Дрофа, 2004 .— 221 с. : ил., табл. — (Высшее образование) .— Библиогр.: с. 216 .— Имен. указ.: с. 217 .— ISBN 5-7107-8777-9.

2. Киреев В. И.. Численные методы в примерах и задачах : учебное пособие для технических вузов / В. И. Киреев, А. В. Пантелеев .— Изд. 2-е, стер .— Москва : Высшая школа, 2006 .— 480 c. : ил., табл .— (Прикладная математика для втузов) .— Библиогр.: с. 477-480 .— ISBN 5-06-004763-6.

3. Катаева Л.Ю. Методическая разработка по курсу "Вычислительная математика" /РГОТУПС МПС РФ; Н. Новгород, 2003 г.