Основы дискретной схемотехники (стр. 1 из 3)
Двоичные числа
Цифровые устройства работают с двоичными числами. Двоичная система счисления или система с основанием 2 использует только цифры 0 или 1. Эти двоичные числа называют битами (от binary digit).
Система счисления - это код, в котором используют специальные символы для обозначения количества каких-либо объектов.
В повседневной деятельности мы пользуемся десятичной системой счисления, которая содержит десять цифр (от 0 до 9). Такую систему ещё называют системой счисления с основанием 10. Двоичную систему называют системой счисления с основанием 2.
Системы счисления характеризуются таким понятием, как значение позиции или вес разряда. Например, десятичное число 2547 можно представить как сумму 2000+500+40+7=2547. Составляющие этой суммы и являются весами разрядов.
Рассмотрим двоичное число 1101 ("один - один - ноль - один"). В табл.10.1 приведены значения позиций и десятичный эквивалент двоичного числа.
Таблица 10.1. Значения позиций двоичных чисел
Бит единицы двоичного числа в табл.10.1 называется младшим битом (МБ), бит восьмёрки - старшим битом (СБ). Табл.10.1 даёт представление о том, как преобразовать двоичное число в его десятичный эквивалент: необходимо определить значение позиций (вес разряда) и просуммировать те из них, у которых соответствующее значение разряда двоичного числа равно 1.
Преобразование двоичного числа 10110110 в его десятичный эквивалент показано в табл.10.2.
Таблица 10.2. Двоично-десятичное преобразование
Основания системы счисления называются индексами:
1011 01102=18210.
Сделаем обратное преобразование: десятичное число преобразуем в его двоичный эквивалент.
Из рис.10.1 видно, что сначала десятичное число172 делится на 2, что даёт число 86 и остаток 1. Остаток 1 будет являться младшим битом (МБ) двоичного числа. Затем число 86 делится на 2 и т.д., пока не получится результат равным 0. Последний получаемый остаток от деления будет являться старшим битом (СБ) двоичного эквивалента, т.о. 17310=1010 11012.
Шестнадцатеричные числа
Шестнадцатеричная система счисления или система с основанием 16, использует 16 символов от 0 до 9 и A, B, C, D, E, F. В табл.10.3 показаны десятичные числа от 0 до 15, а также двоичные и шестнадцатеричные эквиваленты.
Таблица 10.3.
Десятичные числа и их двоичные и шестнадцатеричные эквиваленты
| Десятичное | Шестнадцатеричное | Двоичное |
| 0 | 0 | 0000 |
| 1 | 1 | 0001 |
| 2 | 2 | 0010 |
| 3 | 3 | 0011 |
| 4 | 4 | 0100 |
| 5 | 5 | 0101 |
| 6 | 6 | 0110 |
| 7 | 7 | 0111 |
| 8 | 8 | 1000 |
| 9 | 9 | 1001 |
| 10 | A | 1010 |
| 11 | B | 1011 |
| 12 | C | 1100 |
| 13 | D | 1101 |
| 14 | E | 1110 |
| 15 | F | 1111 |
Из табл.10.3 видно, что каждый шестнадцатеричный символ может быть представлен сочетанием четырех бит. Например, представлением двоичного числа 01111101 в шестнадцатеричной системе является число 7D, поскольку первые четыре бита соответствуют 7, а оставшиеся четыре бита равны D, то есть 0111 11012 = 7D16.
Из этого примера можно вывести общее правило перевода двоичных чисел в шестнадцатеричные: надо, начиная с младшего бита разделить двоичное число на группы из 4 бит, а затем заменить каждую такую группу шестнадцатеричной цифрой.
Например, задано двоичное число 101110. Разделим это число на группы из 4 бит, начиная с младшего бита и на основании табл. 10.3 произведем замены этих групп шестнадцатеричными цифрами:
11102 = E; 00102 = 2;
1011102 = 2E16.
Рассмотрим обратное преобразование: шестнадцатеричное число преобразуем в двоичное. В таком преобразовании каждая шестнадцатеричная цифра заменяется своим двоичным эквивалентом из 4 бит на основании табл.10.3.
Например, шестнадцатеричное число 5A преобразуется в число 010110102, то есть 5A16 = 10110102.
Процедура преобразования шестнадцатеричного числа 3A5D в десятичное число показано в табл.10.4.
Таблица 10.4.
Преобразование шестнадцатеричного числа в десятичное
Из табл.10.4 видно, что получаемое десятичное число содержит: 13 (D16) единиц, 5 чисел 16, 10 (A16) чисел 256 и 3 числа 4096. Каждая цифра шестнадцатеричного числа умножается на соответствующее значение позиции и эти произведения складываются. Таким образом, 3A5D16= 1494110.
Сделаем обратное преобразование. Процесс преобразования десятичного числа в шестнадцатеричное похож на преобразование, полученное на рис.10.1.
Рис.10.2 показывает, что исходное десятичное число 1438210 делится на 16, что дает результат 89810 и остаток 1410, который преобразуется в шестнадцатеричный эквивалент 1410= Е16 и является младшим разрядом (МР) получаемого числа. Процесс деления продолжается и последний остаток от деления 310 = 316 становится старшим разрядом (СР) результата.
Восьмеричные числа
Восьмеричная система содержит восемь цифр от 0 до 7 и является системой с основанием 8. В табл.10.5 показаны десятичные, восьмеричные и двоичные числа.
Таблица 10.5. Десятичные, восьмеричные и двоичные числа
Рассмотрим различные преобразования. Преобразуем двоичное число 10 101 001 100 в восьмеричный эквивалент. Начиная с младшего бита двоичное число разделяем на группы из 3 бит. Затем используя табл.10.5, преобразуем каждую группу в восьмеричную цифру.
Двоичное число 010101 001 100
Восьмеричное число 25 1 4
Таким образом 101010011002=25148.
Осуществим обратное преобразование. При этом каждая восьмеричная цифра заменяется двоичным эквивалентом на основании табл.10.5.
Например, 57348=101 111 011 1002.
Восьмеричное число 5 7 3 4
Двоичное число 101 111 011 100
Преобразование восьмеричного числа в десятичное показано в табл.10.6.
Таблица 10.6. Восьмерично-десятичные преобразования
В табл.10.6 восьмеричное число 3416 преобразуется в десятичное, которое содержит 6 единиц, 1 восьмерку, 4 числа 64 и 3 числа 512. Каждая цифра восьмеричного числа умножается на соответствующее значение позиции и эти произведения складываются. В результате получаем 34168=180610.
Преобразуем десятичное число 4518 в восьмеричный эквивалент. Сначала число 4518 делится на 8. Что дает результат 564 и остаток 6. Который ставится младшим разрядом (МР) восьмеричного числа (рис.10.3). Последний остаток от деления десятичного числа 1 на 8 дает остаток 1, который является старшим разрядом (СР) восьмеричного эквивалента. Т.о. 451810=106468.
Двоичные логические элементы
Используемые для обработки цифровых сигналов устройства называются логическими элементами. Те элементы, что оперируют с двоичными числами называются двоичными логическими элементами. Для идентификации логических элементов используют логические символы. В табл.10.7 приведены семь основных логических элементов цифровых схем.
Таблица 10.7. Основные логические элементы
В табл.10.7 для графического обозначения логических элементов приведены две системы - система, рекомендуемая Международной Электротехнической Комиссией (МЭК), и американская система milspec. Для описания связи входов и выходов логических элементов используются булевы функции. Основы математической логики были заложены английским математиком Дж. Булем (1815 - 1864). В табл.10.7 для задания булевых функций использовались четыре логические функции:
1) функция НЕ или инверсия (отрицание) Y=
2) функция И (конъюнкция) Y=A·B=AB
3) функция ИЛИ (дизъюнкция) Y=A+B=AB
4) функция исключающее или Y=AB
Для перечисленных логических функций справедлив ряд аксиом (тождеств) и законов, основные из которых приведены в табл.10.8.
Таблица 10.8. Основные аксиомы и законы булевой алгебры
С помощью аксиом и законов булевой алгебры (табл.10.8) можно упорядочивать и упрощать сложные логические функции сумм и произведений таким образом, что получается минимальная сумма или минимальное произведение.
Построение комбинационных логических схем
Комбинационными называются функциональные узлы, логическое состояние выходов которых зависит только от комбинации логических сигналов на входах в данный момент времени.
Состояние входов и выходов логической схемы может быть описано таблицей истинности или булевым выражением. В табл.10.7 были приведены таблицы истинности и булевы выражения для основных логических элементов.
Булево выражение в дизъюнктивной нормальной форме — это функция, представляющая собой сумму, каждое слагаемое которой является произведением всех входных переменных или их инверсий:
Данное выражение можно упростить, используя аксиомы и законы булевой алгебры (табл.10.8), и получить так называемую минимальную сумму:
поскольку
и 