Исследование алгоритма SSA-метода при анализе временных последовательностей данных с шумом по известному (стр. 5 из 8)

, . (1)

Эти вектора образуют траекторную матрицу

ряда , в которой. , т. е. матрица имеет одинаковые элементы на диагонали .

Этап сингулярного разложения. Обозначим

. Матрица симметричная и неотрицательно определенная, а значит ее собственные числа вещественны и неотрицательны. Представленные в виде собственные числа называют сингулярными значениями матрицы А. Пусть – соответствующие им ортонормированные собственные вектора. Будем называть порядком сингулярного разложения. Обозначим

. (2)

Тогда сингулярным разложением матрицы A называется ее представление в виде суммы элементарных матриц

. (3)

Каждая из матриц

имеет ранг, равный единице. Поэтому их можно назвать элементарными матрицами. Вектор называют k-м левым сингулярным вектором или просто k-м собственным вектором, вектор – правым сингулярным вектором.

Набор

будем называть k-ой собственной тройкой.

Собственные числа

матрицы А в пакете Mathcad представлены вектором d. Вектор d сингулярных значений в Mathcad определяется с использованием функции svds() [6]:

d := svds(A). (4)

Диагональная матрица ds сингулярных значений матрицы А в пакете Mathcad определяется с использованием функции diag():

ds := diag(d). (5)

Объединенная матрица AS с левыми и правыми сингулярными векторами определяется с использованием функции svd ():

AS := svd(A). (6)

Для разделения левых и правых сингулярных векторов из матрицы AS используется функция submatrix() [6].

Этап группировки. Вид левых и правых сингулярных векторов, трактуемых в SSA как временные ряды, является очень важным для следующего шага метода – группировки [3]. При этом для одномерного SSA левые и правые сингулярные вектора обладают определенной симметрией, так как в этих случаях сингулярные разложения траекторных матриц с длиной окна

и эквивалентны.

Процедура группировки формально одинакова для всех разновидностей SSA. На основе разложения (3) процедура группировки делит все множество индексов

на непересекающихся подмножеств .

Пусть

Тогда результирующая матрица , соответствующая группе , определяется как .Такие матрицы вычисляются для , тем самым разложение (3) может быть записано в сгруппированном виде:

.(7)

Процедура выбора множеств

и называется группировкой собственных троек. Для определения в MS Excel используется лепестковая диаграмма, которая является аналогом графика в полярной системе координат, отображая распределение значений относительно начала координат. По особенностям представления сингулярных векторов на лепестковой диаграмме принимается решение о принадлежности их одной группе.

Этап диагонального усреднения. На последнем шаге базового алгоритма каждая матрица сгруппированного разложения переводится в новый ряд длины

. Для произвольной матрицы X процедуру приведения ее к ганкелевому виду и последующему преобразованию в ряд (обозначим его как G^в) выразим следующим образом. Пусть – матрица размера с элементами , , . Положим , и . Пусть , если и в остальных случаях. Тогда диагональное усреднение переводит матрицу в ряд по формуле

(8)

Это выражение соответствует усреднению элементов матрицы вдоль побочных диагоналей

: выбор дает , для получаем и т. д. Применив диагональное усреднение к матрицам, полученным на этапе группировки, приходим к разложению исходного ряда в сумму рядов.

Процедуру диагонального усреднения просто и наглядно предложено выполнить в MS Excel. Для этого матрица, подлежащая диагонализации, размещается на рабочем листе. Затем блок матрицы, следующий за первой строкой сдвигается вправо на одну позицию. В сдвинутом блоке также определяется блок, следующий за первой строкой, который сдвигается вправо на одну позицию. Процедура повторяется до тех пор, пока в очередном блоке не останется ни одной строки. Восстановленный ряд G^в определяется аналогично формуле (1) с использованием функции СРЗНАЧ() в MS Excel. Затем исследуется в пакете Statistica.

4. Исследование временных рядов с шумом заданным Pearson Type V законом распределения

4.1 Постановка эксперимента

Для проведения исследований выбрана функция

+rnd, где – линейная функция, y1(x)= 0.1+0.09x; – гармоническая функция, y2(x)=3sin(x); rnd – шум. Переменная принимает значения от 0 до 42 с шагом, равным единице. Таким образом, длина N ряда , равна 43. При этом длина окна , число L-мерных векторов . Отдельно на рабочем листе MS Excel 2003 рассчитаны значения функций , , rnd и . При этом ряду линейной функции, или тренда, соответствуют значения Gy1={gy10,gy11,…,gy142}={ 0.1, 0.19,..,3.88}. Ряд гармонической составляющей – Gy2={gy20,gy21,…,gy242}={ 0, 2.524,..,-2.749}, Rnd={1.489, 0.155,..,0.65} и G={1.59, 2.87,..,1.78}. Элементы ряда копируются в траекторную матрицу A на рабочем листе Mathcad 14.0.