Средства языка программирования Паскаль для решения математических задач (стр. 2 из 4)
Теперь нерешённым остался только вопрос о выборе начального значения числа n. Очевидно, что этот вопрос нельзя разрешить однозначно и одинаково для всех видов функций. Это станет очевидно, если рассмотреть следующую ситуацию: пусть требуется найти определённый интеграл некоторой функции на отрезке, где она принимает некоторое одинаковое значение не менее 2-х раз, и при этом её интеграл не равен произведению этого значения на длину отрезка интегрирования. При некорректном выборе исходного значения n может получиться так, что при разбиении отрезка интегрирования на n и 2n в рассмотрение будут приняты только те точки, значения функции в которых совпадают. Но тогда вычисление интеграла закончатся, т.к. разница между найденными значениями (Integral1 - Integral2) будет равна нулю и, следовательно, явно меньше любой погрешности, значение которой всегда положительно. Но это недопустимо, т.к. реальное значение искомого интеграла может быть далеко от найденного. Поэтому, при рассмотрении каждой новой функции следует производить тщательный анализ и исключение подобных ситуаций. Таким образом, вопрос о выборе начального значения числа разбиений отрезка остается открытым.
Так как рассматриваемая в данной задаче функция не представляет особой сложности, то в предложенном далее алгоритме решения задачи начальное значение числа n будет взято равным единице.
1.4 Описание переменных.
| Имя переменной | Тип переменной | Значение |
| N | integer | Число интервалов разбиения |
| A | real | Нижний предел интегрирования |
| B | real | Верхний предел интегрирования |
| С | real | Параметр функции, определяемый пользователем |
| H | real | Шаг интегрирования |
| E | real | Точность вычислений |
| X | real | Аргумент функции |
| integral1 | real | Значение интеграла при n разбиений |
| integral2 | real | Значение интеграла при 2n разбиений |
1.5 Схема алгоритма.
1.6 Текст программы.
PROGRAM KKP2_1_DUB3;
USES CRT;
var
A, B, C, E, ABS_Integral:real;
PROCEDURE ENTER_DATA(VAR PR_1, PR_2, P_PAR,POGR_PRO:REAL);
BEGIN
ClrScr;
Writeln ('Программа для нахождения значения интеграла на определенном промежутке');
Writeln;
writeln('Введите границы интервала [A,B],причем (A<B),число C (0<C<1) и точность E (E>0): ');
writeln;
REPEAT
BEGIN
writeln('Число C: '); readln(P_PAR);
if not (P_PAR>0) then
writeln ('C должно быть больше 0 !. Повторите ввод.')
ELSE IF NOT (P_PAR<1) THEN
WRITELN('C должно быть меньше 1!. Повторите ввод.');
END;
UNTIL ((P_PAR>0) AND (P_PAR<1));
REPEAT
BEGIN
writeln('Начало интервала A: '); readln(PR_1);
writeln('Конец интервала B: '); readln(PR_2);
if not (PR_1<PR_2) then
writeln ('A должно быть меньше B !. Повторите ввод.');
END;
UNTIL (PR_1<PR_2);
REPEAT
BEGIN
writeln('Точность E: '); readln(POGR_PRO);
if not (POGR_PRO>0) then
writeln ('E должно быть больше 0 !. Повторите ввод.');
END;
UNTIL (POGR_PRO>0);
END;
FUNCTION integration(VAR GR_1,GR_2,F_PAR,POGR_FUNC:REAL):real;
VAR
INTEGRAL1, INTEGRAL2, X, H:REAL;
N:INTEGER;
READY:BOOLEAN;
begin
integral1:=0;
integral2:=0;
n:=1;
REPEAT
N:=N*2;
H:=(GR_2-GR_1)/N;
X:=GR_1;
Integral2:=0;
repeat
if x<=(-F_PAR) then
integral2:=integral2+((1/sqr(3))*(ln(F_PAR)-F_PAR))
ELSE IF((-F_PAR<x) and (x<=F_PAR))
THEN integral2:=integral2+ln(F_PAR)
ELSE if (X>F_PAR) THEN
Integral2:=integral2+LN(X)/LN(10);
X:=X+H;
until not (X<=B);
READY:=abs(integral1-integral2)<POGR_FUNC;
INTEGRAL1:=INTEGRAL2;
UNTIL READY;
INTEGRATION:=INTEGRAL2;
END;
BEGIN
ENTER_DATA(A,B,C,E);
ABS_Integral:=INTEGRATION(A,B,C,E);
Writeln;
Writeln( 'Ответ: ');
writeln('Интеграл на промежутке от ',A:0:2,' до ',B:0:2,' равен ');
writeln (ABS_Integral:1:3,' с точностью ',E:1:3);
ReadKey;
END.
1.7 Инструкция пользователю.
Данная программа вычисляет значение интеграла функции заданной графически. Интервал интегрирования, точность вычислений и параметр функции вводятся пользователем. Программа вычислит результат и выдаст его (в числовом виде) на экран монитора.
После запуска программы на экране появится описание программы.
В ответ на приглашение к вводу значений следует ввести требуемые величины. Программа не претендует на универсальность, поэтому не стоит вводить запредельные границы интервала или очень маленькую ( ~0.001) точность вычислений. Поскольку скорость выполнения этой программы напрямую зависит от частоты процессора, то на процессорах, различающихся значительно, время вычислений (и допустимая точность) будут разными. В общем случае это определяется опытным путем.
Если все величины заданы корректно и вычисления не прерывались, то через некоторое время, зависящее от тактовой частоты процессора, программа подсчитает значение интеграла и выдаст его на экран.
В случае если требуется повторное вычисление значения, следует заново запустить программу.
1.8. Тестовый пример.
Программа для нахождения значения интеграла на определенном промежутке
Введите границы интервала [A,B], причем (A<B), число C (0<C<1), число D (D<0) и точность E (E>0):
Число C:
0.9
Число D:
-0.1
Начало интервала A:
5
Конец интервала B:
10
Точность E:
1
Ответ:
Интеграл на промежутке от A до B равен
2.574 с точностью 1.000
Программа для нахождения значения интеграла на определенном промежутке
Введите границы интервала [A,B], причем (A<B), число C (0<C<1), число D (D<0) и
точность E (E>0):
Число C:
0.9
Число D:
-0.1
Начало интервала A:
-0.9
Конец интервала B:
0.9
Точность E:
1
Ответ:
Интеграл на промежутке от A до B равен
-0.300 с точностью 1.000
2. Составление таблицы значений функции, заданной в виде разложения в ряд
2.1 Вариант задания и постановка задачи.
Задание (вариант №15):
Разработать алгоритм и составить программу вычисления таблицы значений функции, заданной в виде разложения в ряд. Значение функции вычислять с точностью e>0, т.е. вычисление суммы членов ряда необходимо прекратить, когда абсолютная величина очередного члена ряда разложения окажется меньше e: | ак | <e.
При вычислении очередного члена целесообразно воспользоваться рекурентным выражением:
ак+1=скак; к= 0, 1, 2, ...,
где ак - некоторый к-ый член ряда; ак+1 - следующий к+1-ый член ряда; ск - коэффициент, определяемый номером к.
При составлении программы необходимо по возможности воспользоваться операторами организации циклов WHILE, REPEAT, FOR.
Границы интервала вычислений функций a и b, величина шага изменения аргумента h и точность вычисления функции e задаются при вводе. На печать выводятся номер по порядку, значение аргумента, соответствующие ему, значение функции и номер члена ряда, на котором закончилось вычисление значение функции, в форме таблицы:
| № | Х | f (x) | № чл.р. |
| 1 | |||
| 2 | |||
| 3 | |||
| ... |
Функция:
2.2 Математическая формулировка задачи.
Некоторые функции нельзя представить в виде конечной формулы, но вычисление значений таких функций часто бывает необходимо для различного рода расчетов. Такие функции могут быть заданы в виде разложения в бесконечный ряд, где при бесконечном увеличении членов ряда каждый последующий член меньше предыдущего. Каждый член ряда – это конкретное значение функции. Нахождение таких членов и дает возможность вычислить значение функции. И чем больше членов ряда рассмотреть, тем более точным получится значение функции.
2.3 Численный метод решения.
Пусть требуется приближённо вычислить значение функции, заданной в виде разложения в бесконечный ряд. Идея алгоритма вычисления суммы членов ряда состоит в следующем:
Очевидно, что вычисление значения функции нужно производить за конечное число шагов. А значит, необходим некий ограничивающий фактор, в качестве которого в нашей задаче будет выступать погрешность вычислений e (e>0). Следовательно, вычислив каждый новый член ряда ak, нам необходимо проверить, не будет ли абсолютная величина очередного члена ряда меньше, чем величина погрешности e, т.е. |ak| < e. Если это неравенство не выполнилось, то следует вычислить новый член ряда, иначе можно заканчивать вычисление и выводить результат работы на экран дисплея.
Кроме того, при вычислении очередного члена целесообразно воспользоваться рекуррентным выражением: ak+1 = ck * ak; k = 0, 1, 2, …, где ak – некоторый k-ый член ряда; ak+1 - следующий k+1-ый член ряда; ck – коэффициент, определяемый номером k.
В данном случае нахождение коэффициента ck можно произвести следующим образом:
ak=
;ak+1=
;ck =
Следовательно, зная значение предыдущего члена ряда, порядковый номер следующего и используя полученную формулу, мы значительно упрощаем нахождение нового члена нашего ряда:
ak+1 =ak*
; k = 0, 1, 2, …