Построение детерминированной программой математической модели кристаллизации сплава системы Fe-C (стр. 1 из 2)

Федеральное агентство по образованию

ГОУ «Санкт-Петербургский государственный политехнический университет»

Факультет технологии и исследования материалов

Кафедра моделирования металлургических процессов

Отчёт

о лабораторной работе №1 «Построение детерминированной программной модели».

Работу выполнила студентка группы 4064/1 Петрова С.С.

Преподаватель Вяххи И.Э.

Санкт-Петербург

2009 г.

Цель работы – знакомство с методикой построения детерминированной модели и разработка численной модели металлургического процесса для системы с сосредоточенными параметрами.

Система – целесообразная совокупность взаимодействующих элементов, которая ориентирована на выполнение той или иной функции. Системы классифицируются по различным параметрам. По пространственной структуре бывают системы с сосредоточенными и распределёнными параметрами.

Система с сосредоточенными параметрами имеет равномерное распределение выходных параметров по объёму и характеризуется их осреднёнными величинами.

Система с распределёнными параметрами имеет более сложную структуру, в ней выходные параметры неравномерно распределены по объёму.

Модель – объект, находящийся по отношению к натурному объекту в отношении подобия (т.е. взаимно-однозначного соответствия); приближённое описание процессов, происходящих в системе, ориентированное на выполнение определённых функций.

Детерминированные модели описывают процессы с известным механизмом с помощью физико-химических уравнений, влияние случайных возмущений не учитывается.

Постановка задачи:

Необходимо разработать математическую модель процесса кристаллизации сплава системы Fe – 0,16 % C с учётом равновесного выделения твердой фазы по диаграмме состояния. Изменение температуры данного сплава происходит в интервале от tз=1800°С (температуры заливки в форму) до tк=800°С (конечной температуры охлаждения слитка). Удельная теплоёмкость сплава С=444 Дж/(кг·К), его плотность ρ=7000 кг/м³, коэффициент теплоотдачи α=126,5 Вт/(м²·К), скрытая теплота фазового превращения L=277 кДж/кг.

Поскольку мы имеем дело с системой с сосредоточенными параметрами, то модель, с помощью которой мы будем описывать процессы, происходящие в системе, так же будет с сосредоточенными параметрами, то есть будет характеризоваться осреднёнными параметрами.

Построение физической модели:

На рисунке 2 показан характер изменения температуры во времени при охлаждении сплава заданного состава. Разобьем температурный интервал охлаждения слитка сплава Fe – 0,16 % C на участки:

I. Участок жидкого состояния.

При заданной температуре заливки tз=1800°С сплав Fe – 0,16 % C находится в жидком состоянии; жидкость охлаждается до пересечения с линией А-В при температуре ликвидуса (t_liq) в точке А₁.

II. В точке А₁ начинается выпадение из расплава кристаллов феррита,

Ж → Ф

при этом концентрация жидкости меняется по линии А-В, а концентрация феррита – по линии А-С.

III. В точке С₁, когда сплав достигает температуры перитектики (tp=1499°С), выпадение кристаллов феррита заканчивается. При данной температуре происходит перитектическое превращение:

Ж + Ф → А

С-С₁-В – линия нонвариантного перитектического превращения.

IV. Ниже точки С₁ охлаждение идёт в области диаграммы, соответствующей твёрдому состоянию сплава, до заданной температуры охлаждения слитка tк=800°С.

Для дальнейшего построения физической модели примем следующие допущения:

- для простоты модели будем рассматривать систему как объём с сосредоточенными параметрами, т. е. не учитывая перепада температур по сечению слитка и принимая его в качестве материальной точки, имеющие постоянные поверхность теплообмена F, объем V и плотность ρ;

На рисунке 3 изображён слиток заданного сплава:

(м²), (м³).

- теплообмен слитка со средой происходит по закону конвективного теплообмена Ньютона с постоянным коэффициентом теплоотдачи α, т.е. пренебрежём лучистым (радиационным) теплообменом;

- основные параметры системы (плотность р, теплоемкость С, теплота кристаллизации L) являются постоянными, не зависящими от температуры и состава выделяющихся фаз, в том числе не учитываются объёмные изменения и физико-химическое взаимодействие между сплавом и окружающей средой;

- при расчете предполагаем линии диаграммы состояния отрезками прямых (линейные зависимости) и рассчитываем соответствующие концентрации как линейные функции от температуры.

Формулировка математической модели.

Основным соотношением рассматриваемой математической модели является уравнение баланса энергии: изменение внутренней энергии слитка dQ_cравно количеству денного в среду тепла dQ_B. Теплообмен слитка со средой происходит по закону конвективного теплообмена Ньютона:

, (1)

где α – коэффициент теплоотдачи от поверхности слитка площадью F и объёмом V в окружающую среду;

t_cp - температура окружающей среды;

t - температура слитка;

τ - время.

В общем случае изменение внутренней энергии сплава в зависимости от этапа кристаллизации имеет вид