Численные методы решения задач управления технологическими процессами (стр. 2 из 4)
Одномерная оптимизация методом поразрядного приближения.
Метод обладает высоким быстродействием. Это достигается тем, что используется алгоритм с переменным шагом поиска. Задаем интервал [a,b] , содержащий внутри себя точки максимума
: 
Задается начальное значение
и вычисляется 
. Задается начальный шаг поиска h и кратность изменения шага k в районе оптимума. Производится поиск максимума. Поиск из начальной точки x= 
осуществляется с постоянным шагом h , после каждого шага вычисляется значение критерия 
, оно сравнивается с предыдущим и в случае улучшения критерия шаги продолжаются. Движение к оптимуму с неизменным шагом h продолжается до тех пор, пока очередной шаг не окажется неудачным. После этого поиск максима продолжается из последней точки в обратном направлении с шагом в k раз меньше прежнего. Эта процедура будет продолжаться до тех пор, пока не выполнится условие:
, где 
- заданная погрешность определения оптимума. 
Алгоритм расчета. 
да  |
нет
Результаты расчета.
Целевая функция имеет вид :
| X=-100;h=10;k=10 | ||||
| Погрешность Е | Оптимальная точка х | Оптимальное значение ф-ции | Кол-во итераций | Кол-во вычислений |
| 1 | 0,895427987 | 22,910241869 | 2 | 23 |
| 0.1 | 0,94547427929 | 23,046790768 | 3 | 35 |
| 0.01 | 0,96349811902 | 23,055988462 | 4 | 51 |
| 0.001 | 0,96148191718 | 23,05610953 | 5 | 65 |
| X=-100;h=10;e=0.01 | ||||
| Кратность k | Оптимальная точка х | Оптимальное значение ф-ции | Кол-во итераций | Кол-во вычислений |
| 2 | 0,95703125 | 23,0553 | 11 | 51 |
| 5 | 0,9632 | 23,0560 | 6 | 46 |
| 10 | 0,96 | 23,0560 | 4 | 51 |
| 20 | 0,96125 | 23,0560 | 4 | 65 |
| 50 | 0,96 | 23,0560 | 3 | 101 |
| X=-100;k=10;e=0.01 | ||||
| Шаг h | Оптимальная точка х | Оптимальное значение ф-ции | Кол-во итераций | Кол-во вычислений |
| 0.1 | 0,95999 | 23,05601 | 2 | 1028 |
| 0.5 | 0,96 | 23,05601 | 3 | 231 |
| 1 | 0,96 | 23,05601 | 3 | 123 |
| 5 | 0,96 | 23,05601 | 4 | 53 |
| 10 | 0,96 | 23,05601 | 4 | 51 |
| 50 | 0,96 | 23,05601 | 5 | 57 |
| 100 | 0,96 | 23,05601 | 5 | 48 |
Вывод: метод является эффективным для измерения оптимума унимодальной функции, причем изменение шага поиска или кратности уменьшения шага ( при неизменной погрешности вычисления на результат практически не влияет).
Одномерная оптимизация методом квадратичной интерполяции.
В предыдущих методах была сделана попытка найти малый интервал, в котором находится оптимум функции f0(х). В этом методе применяется иной подход. Он заключается в построении аппроксимирующей модели оптимизируемой функции
(х). Функция может аппроксимирована полиномом второго порядка:(х) = ах2 + Ьх + с
по крайней мере в небольшой области значений, в том числе в области оптимума. При этом положении экстремума
(х) определяется по положению экстремума полинома, поскольку последний вычислить проще.Экстремум функции fап (х) как известно расположен в точке: = -Ь/2а.
Положим, что окрестность некоторой исходной точки х=х1 области определения f0(х) аппроксимирована полиномом fап (х). Задача поиска заключается в определении смещения
= х°ап – х1Которое приводит из исходного состояния х = х1, ближе к экстремуму х = х°. Если f0(х) строго квадратичная функция, то смещение
после первого шага сразу приведет к 
. В противном случае достижение х° требует выполнения итерационной процедуры. Для определения смещения 
нужно определить коэффициенты параболы. Для этого необходимо вычислить значение f0(х) в трех точках. Пусть вычисление производится в исходном состоянии х = х1 и в точках, 
, 
и при этом получено три значения этой функции 
,где h - полуинтервал интерполяции, малая постоянная величина. Подставляя эти значения в уравнение (х), получаем систему из трех линейных уравнений с тремя неизвестными а, Ь, с:
а(х1 - h)2 + Ь(х1 - h) + с =а(х1 - h)2 + Ь(х1 - h) + с =
а*х12 + Ь*х1 + с =
а(х1 + h)2 + Ь(х1 + h) + с =
Для того, чтобы система имела решение, необходимо чтобы ее определитель не был равен нулю. Это условие выполняется, так как определитель равен:
= - 2h3 
0 так как 
. Решая систему уравнений, получаем интересующие нас значения параметров а, Ь, с подставляя их в формулу находим положение экстремума параболых°ап= х1 + h(
- 
)/2( - 2 
+ )Зная коэффициенты а, Ь, с можно определить и экстремальное значение функции по формуле, которая является оценкой экстремума критерия
(х).