Показатели надежности восстанавливаемого объекта (стр. 2 из 3)

5. Функция потока отказов

(5)

6. Средняя наработка между отказами на интервале t

(6)

Примечание: При t

, когда Pj(t = ) = Pj( ) = Pj , средняя наработка между отказами

T₀= kг.с./

,

где

( ) = .

В качестве примера вычисления показателей надежности, рассмотрен восстанавливаемый объект, у которого поток отказов простейший (пуассоновский) с параметром потока

=

= 1/ T₀,

а распределение времени восстановления подчиняется экспоненциальному распределению с интенсивностью восстановления

= 1/ T_В ,

где T0 – средняя наработка между отказами;

T_В – среднее время восстановления.

P₀(t) – вероятность работоспособного состояния при t;

P₁(t) – вероятность неработоспособного состояния при t.

Система дифференциальных уравнений:

(7)

Начальные условия: при t = 0 P₀(t = 0) = P₀(0) = 1; P₁(0) = 0, поскольку состояния S₀ и S₁ представляют полную группу событий, то

P0(t) + P1(t) = 1.

(8)

Выражая P₀(t) = 1 - P₁(t), и подставляя в (7) получается одно дифференциальное уравнение относительно P₁(t):

dP1(t)/dt = (1 – P1(t)) - P1(t).

(9)

Решение уравнения (9) производится с использованием преобразования Лапласа.

Преобразование Лапласа для вероятностей состояния P_i(t):

т. е. P_i(S) = L{P_i(t)} – изображение вероятности P_i(t).

Преобразование Лапласа для производной dP_i(t)/dt:

После применения преобразования Лапласа к левой и правой частям уравнения, получено уравнение изображений:

(9)

где L{

} =

L{1} =

/S .

При P₁(0) = 0

SP₁(S) + P₁(S)(

+ ) = /S.

P₁(S)( S +

+ ) = /S,

откуда изображение вероятности нахождения объекта в неработоспособном состоянии:

(10)

Разложение дроби на элементарные составляющие приводит к:

Применяя обратное преобразование Лапласа, с учетом:

L{f(t)} = 1/S, то f(t) = 1;

L{f(t)} = 1/( S + a), то f(t) = e^-at,

вероятность нахождения объекта в неработоспособном состоянии определяется:

(11)

Тогда вероятность нахождения в работоспособном состоянии P0(t) = 1 - P1(t), равна

(12)

С помощью полученных выражений можно рассчитать вероятность работоспособного состояния и отказа восстанавливаемого объекта в любой момент t.

Коэффициент готовности системы kг.с.. определяется при установившемся режиме t

, при этом P_i(t) = P_i = const, поэтому составляется система алгебраических уравнений с нулевыми левыми частями, поскольку

dP_i(t)/dt = 0.

Так как kг.с есть вероятность того, что система окажется работоспособной в момент t при t

, то из полученной системы уравнений определяется P0 = kг.с .

При t

алгебраические уравнения имеют вид:

(13)

Дополнительное уравнение: P0 + P₁ = 1.

Выражая P₁ = 1 - P₀ , получаем 0 =

P₀ - (1 - P₀ ), или = P₀ ( + ), откуда

(14)

Остальные показатели надежности восстанавливаемого элемента:

- функция готовности Г(t), функция простоя П(t)

Г(t) = P₀ (t); П(t) = 1 - Г(t) = P₁(t).

- параметр потока отказов

(t) по (4)

(t) =

P₀(t) =

Г(t).

При t

(стационарный установившийся режим восстановления)

(t) =

(

) =

=

P0 =

kг.с.