Разработка управляющего устройства обеспечивающего качественные показатели системы (стр. 4 из 9)

, где

- в виде дифференциального уравнения:

, если | u | < 0,8,

,если | u | > 0,8.

Передаточная функция замкнутой системы имеет вид:

Матрица Гурвица:

тогда 15625 < 100+250

< 0.016 +0.0064

Тогда:

> 62.5 - 0.4

Переходные характеристики

Построим переходные характеристики для различных согласованных значений коэффициентов k₁и k₂:

1 – k₁ = 0.1, k₂ = 6;

2 – k₁ = 0,001, k₂ = 0,1;

3 – k₁ = 1, k₂ =65;

4 – k₁ = 0,5, k₂ = 35;

2.6 Оценка влияния нелинейного элемента на свойства линейной системы

Влияние нелинейного элемента на свойства линейной системы оценим по результатам моделирования процессов в исследуемой системе с ПД- регулятором. На графиках показаны изменения выходной координаты в установившемся режиме для систем с нелинейным элементом и без него.

1 – ПХ системы с нелинейным элементом

2 – ПХ системы без нелинейного элемента

Наличие нелинейного элемента оказывает вредное влияние на свойства системы. Введение в линейную систему нелинейного элемента приводит к возрастанию колебательности процесса.

3. Принцип построения систем с переменной структурой

3.1 Основные виды СПС

Одним из методов аналитического конструирования СПС является метод фазового пространства. Рассмотрим некоторые особенности фазового пространства линейных структур и некоторые идеи, положенные в основу построения СПС.

Предположим, что в нашем распоряжении имеется две, пусть даже неустойчивые линейные структуры, но в фазовом пространстве одной из них существует гиперплоскость с устойчивым вырожденным движением. Тогда следует выбрать такую последовательность изменения этих структур, чтобы, во-первых, любая траектория в фазовом пространстве Х пересекала эту гиперповерхность, и, во-вторых, в момент попадания изображающей точки на эту гиперплоскость структура системы совпадала со структурой с устойчивым вырожденным движением. Построенная таким образом система будет устойчивой для любых начальных условий.

Рассмотрим этот принцип на примере системы второго порядка. В качестве структуры с устойчивым вырожденным движением примем неустойчивую структуру с фазовыми траекториями типа ‘седло’:

для анализа линейной системы возьмем уравнения, описывающие изменение скорости в ранее рассмотренном управляемом объекте при условии, что в качестве управляющего устройства применяется пропорционально – дифференциальный регулятор. Уравнения для рассогласования в этом случае запишутся без учёта нелинейного элемента следующим образом:

Рассчитаем

и в уравнении вида:

таким образом, чтобы корни характеристического уравнения были бы вещественными, но разных знаков.

Для того, чтобы корни были вещественные необходимо, чтобы выполнялись условия:

1.

2.

Из первого неравенства получаем:

Из второго неравенства получаем:

Возьмем

.

Тогда:

Тогда пусть

.

При таких k, корни характеристического уравнения будут равны:

λ₁ = 0.58

λ₂ = -0.34

Структурная схема системы с устойчивым вырожденным движением:

Фазовая траектория системы представлена:

Решения уравнения запишутся следующим образом:

Если начальные условия для решений выбрать так, что

, то или ,а для нашего примера получим: . Это уравнение прямой на фазовой плоскости, наклон которой равен с учётом знака, которая проходит во втором и четвёртом квадрантах. Эта прямая и является совокупностью устойчивых фазовых траекторий для неустойчивой системы второго порядка. Если в начальный момент времени изображающая точка находится на прямой S, то она будет асимптотически приближаться к началу координат. В то же время необходимо отметить, что любые сколь угодно малые возмущения могут отклонить точку от устойчивой траектории S и в системе возникает неустойчивое движение. По этой причине движение, происходящее по траекториям, принадлежащим гиперплоскости устойчивых движений, принято называть вырожденным.

Эта особенность фазового пространства линейных систем позволяет наметить один из возможных принципов построения систем с переменной структурой.

3.2 Система с переменной структурой с устойчивым вырожденным движением

Предположим, что в нашем распоряжении имеется две, пусть даже неустойчивые линейные структуры, но в фазовом пространстве одной из них существует гиперплоскость с устойчивым вырожденным движением. Тогда следует выбрать такую последовательность изменения этих структур, чтобы, во-первых, любая траектория в фазовом пространстве Х пересекала эту гиперповерхность, и, во-вторых, в момент попадания изображающей точки на эту гиперплоскость структура системы совпадала со структурой с устойчивым вырожденным движением. Построенная таким образом система будет устойчивой для любых начальных условий.

Проиллюстрируем этот принцип на примере системы второго порядка. В качестве структуры с устойчивым вырожденным движением примем неустойчивую структуру с фазовыми траекториями типа ‘седло’. В качестве второй неустойчивой структуры примем структуру с фазовыми траекториями типа ‘неустойчивый фокус’, то есть, раскручивающиеся спирали.

Для получения такой фазовой траектории необходимо, чтобы корни характеристического уравнения были комплексными сопряженными с положительными вещественными частями. Такую структуру можно получить за счёт соответствующего подбора коэффициентов в регуляторе. Уравнение замкнутой системы было получено ранее:

Рассчитаем

и в уравнении вида:

таким образом, чтобы корни характеристического уравнения, были бы комплексно-сопряженными и имели положительные вещественные части.