Автоматизированное проектирование системы управления технологическим процессом производства цем (стр. 3 из 14)
Линейные непрерывные стационарные динамические объекты могут быть представлены (без учета действия шума e(t)) в виде:
Дифференциального уравнения. Наиболее универсальная модель, имеющая форму
где na – порядок модели (na > nb); ai и bj – постоянные коэффициенты (параметры модели); u(j)(t) и y(i)(t) – производные, соответственно, входного и выходного сигналов.
Передаточной функции. Модель определяется как отношение преобразования Лапласа выходного сигнала к преобразованию Лапласа входного сигнала
,где L{●} – символ преобразования Лапласа, р – переменная (оператор Лапласа).
Импульсной характеристики w(t) и переходной функции h(t). Импульсная характеристика определяется как реакция объекта на входной сигнал в виде δ-функции. Переходная функция h(t) определяется как реакция объекта на входной сигнал в виде единичного скачка. Соотношения между этими характеристиками имеют следующий вид:
L{w(t)}=W(p), w(t)=h’(t) , L{h(t)}=W(p)/p
При нулевых начальных условиях связь между выходными и входными сигналами описывается интегралом свертки:
,или в операторной форме:
Y(p) = W(p)*U(p) .Частотной характеристики. Частотные характеристики объекта определяются его комплексным коэффициентом передачи W(jω). Модуль комплексного коэффициента передачи │W(jω)│= A(ω) представляет собой амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) объекта с передаточной функцией W(p), а аргумент arg(W(jω))=φ(ω) – фазочастотную характеристику (ФЧХ). Графическое представление W(jω), на комплексной плоскости при изменении ω от 0 до ∞, то есть график амплитудно-фазовой характеристики (АФХ) в полярных координатах в отечественной литературе называется годографом, а в англоязычной – диаграммой Найквиста. В теории автоматического управления часто используется логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ), равная 20 lg │W(jω) │.
В 70-е годы 20 века Розенброком был создан метод «размытых» частотных характеристик, предназначенный для автоматизированного проектирования систем с несколькими входами и выходами, ориентированный на использовании средств вычислительной техники и названный в последствие методом переменных состояния (МПС). В основе этого метода лежит представление дифференциальных уравнений в нормальной форме Коши, которое дополняется алгебраическими уравнениями, связывающими выходные переменные с переменными состояния:
x’ = Ax + Bu
y = Cx,
где u – вектор входных воздействий; y – вектор выходных воздействий; x – вектор переменных состояния; A, B, C – матрицы коэффициентов размерности n x n, n x m, r x n соответственно; n – число переменных состояния или максимальная степень производной исходного дифференциального уравнения; m – число входов; r – число выходов.
Математическим аппаратом метода переменных состояния являются матричное исчисление и вычислительные методы линейной алгебры. Метод переменных состояния содействовал значительному развитию теории управления. На языке МПС выполнена большая часть работ по оптимальному управлению, фильтрации и оцениванию.Для систем с одним входом и одним выходом уравнения переменных состояния можно сформулировать следующим образом. При выборе n координат системы (объекта) в качестве переменных ее состояния (такими координатами, например, могут быть выходной сигнал y(t) и n-1 его производных) принимаем xi , i = 1,2,…, n и данную систему можно описать следующими уравнениями для переменных состояния:
х′(t) = Aх(t) + Bu(t),
y(t) = Cх(t) + Du(t),
где х(t) = [x1(t),x2(t),…,xn(t) ]t – вектор-столбец переменных состояния; A, B, C, и D при скалярных u(t) и y(t) – соответственно матрица размера n 
n, векторы размера n
1 и 1 n и скаляр (при векторных u(t) и y(t) – матрицы соответствующих размеров).Для дискретных объектов, функционирование которых представляется дискретным временем tk = kT (T – интервал дискретизации), наиболее общим видом описания является разностное уравнение (аналог дифференциального):
yk +a1yk-1 + ... +anayk – na = b1uk + b2uk – 1 + b3uk - 2 + ... + bnbuk – nb + 1 ,
где yk – i = y[(k – i)T] , uk – j = u[(k – j)T]
.Связь между входом и выходом может быть отражена следующими соотношениями:
• через дискретную свертку:
,где ω – ординаты решетчатой весовой функции объекта, или, с использованием аппарата Z – преобразования:
, где z = e pT• через дискретную передаточную функцию:
,которая определяется на основании разностного уравнения после применения к обеим частям этого уравнения Z – преобразования:
На практике в большинстве случаев измерение непрерывных сигналов производится в дискретные моменты времени, что представляет определенное удобство при последующей обработке данных на ЭВМ. Поэтому представление непрерывных объектов дискретными моделями является актуальной задачей. Хотя такое представление может быть осуществлено с некоторой степенью приближенности.
2. 3. Виды моделей пакета System Identification Toolbox
Одним из расширений MATLAB является пакет System Identification Toolbox, который содержит средства для создания математических моделей линейных динамических систем, на основе наблюдаемых входных и выходных данных. Он имеет удобный графический интерфейс, позволяющий организовывать данные и создавать модели.
Приведем несколько распространенных моделей дискретных объектов, используемых в пакете System Identification Toolbox для временной области, учитывающих действие шума наблюдения:
· Модель авторегрессии AR (AutoRegressive) – считается простым описанием:
A(z) y(t) = e(t) , где A(z) = 1 + a1z – 1 + a2z – 2 +...+ a naz – na .
· ARX – модель (Autoregressive with eXternal input) – более сложная модель:
A(z)y(t) = B(z) u(t) + e(t) ,
Здесь и ниже e(t) – дискретный белый шум.
.· ARMAX
-модель (AutoRegressive-Moving Average wiht eXternal input – модель авторегрессии скользящего среднего 
): 
,где nk – величина задержки (запаздывания),
.· Модель «вход-выход» (в иностранной литературе такая модель называется «Output-Error», то есть «выход-ошибка», сокращенно ОЕ):
,где
.· Модель Бокса-Дженкинса (BJ):
,полиномы B(z), F(z), C(z) определены ранее, а полином D(z) определяется по формуле:
.Данные модели можно рассматривать, как частные случаи обобщенной параметрической линейной структуры:
,при этом все они допускают расширение для многомерных объектов (имеющих несколько входов и выходов).
· Модель для переменных состояния (State-space):