Исследование методов автоматизированного проектирования динамических систем (стр. 12 из 25)

Согласно МНК, для нахождения коэффициентов b_i, необходимо минимизировать функцию:

,

(4.3)

где N – количество опытов;

x_ui –значение i-й переменной в u-м опыте;

y_u – значение экспериментальных y в u-м опыте;

Из условия минимизации функции ss, можно получить систему нормальных уравнений НМК:

(4.4)

Представив все результаты в матричной форме, получим:

, , ,

(4.5)

где X – матрица условий эксперимента; Y – матрица результатов опытов;B – матрица коэффициентов.

Умножив транспонированную матрицу X на матрицу X, получим матрицу системы нормальных уравнений, которая называется информационной матрицей Фишера (матрицей моментов):

(4.6)

Умножив транспонированную матрицу X на матрицу Y, получим:

,

(4.7)

Используя данные обозначения, систему нормальных уравнений можно записать в матричной форме:

.

(4.8)

Обозначая обратную матрицу моментов как:

(4.9)

получим выражение для матрицы коэффициентов:

(4.10)

4.3 Кодирование факторов

Кодирование факторов используется для перевода натуральных факторов в безразмерные величины, чтобы построить стандартную план – матрицу эксперимента.

Для перевода заполняется таблица кодирования факторов на двух уровнях. В качестве 0-го уровня обычно выбирается центр интервала, в котором предполагается вести эксперимент.

Связь между кодовым и натуральным значениями фактора:

(4.11)

где X_i – натуральное значение фактора;

X_i0 –значение этого фактора на нулевом уровне;

d_I – интервал варьирования факторов.

Составим таблицу кодирования факторов, используя исходные данные.

Таблица 4.1 – Таблица кодирования факторов

Интервал варьирования и уровень факторов	Мползуна, кг*1000	Мнижн/Мползуна	Мверхн/Мнижн	Сколлонны ГН/м	Сколлонны/С2
Нулевой уровень xi=0	14	6,5	0,75	65	1,25
Интервал варьирования dI	6	3,5	0,25	35	0,75
Нижний уровень xi=-1	8	3	0,5	30	0,5
Верхний уровень xi=+1	20	10	1	100	2
Кодовые обозначения	X1	X2	X3	X4	X5

4.4 Составление план – матрицы

В план – матрице должны быть указаны все возможные комбинации уровней факторов. В таблице 4.2 приведена Расширенная план – матрица плана типа Bk [45].

Таблица 4.2 – Расширенная план – матрица плана типа Bk

№ оп.	X0	X1	x2	X3	X4	X5	x1x2	X1x3	x1x4	X1x5	X2x3	X2x4	X2x5	X3x4	X3x5	X4x5	X12	X22	X32	X42	X52	Vp
1	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	5.38
2	+	-	+	+	+	+	-	-	-	-	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	7.83
3	+	+	-	+	+	+	-	+	+	+	-	-	-	+	+	+	+	+	+	+	+	5.10
4	+	-	-	+	+	+	+	-	-	-	-	-	-	+	+	+	+	+	+	+	+	6.90
5	+	+	+	-	+	+	+	-	+	+	-	+	+	-	-	+	+	+	+	+	+	5.34
6	+	-	+	-	+	+	-	+	-	-	-	+	+	-	-	+	+	+	+	+	+	7.50
7	+	+	-	-	+	+	-	-	+	+	+	-	-	-	-	+	+	+	+	+	+	4.98
8	+	-	-	-	+	+	+	+	-	-	+	-	-	-	-	+	+	+	+	+	+	6.65
9	+	+	+	+	-	+	+	+	-	+	+	-	+	-	+	-	+	+	+	+	+	5.39
10	+	-	+	+	-	+	-	-	+	-	+	-	+	-	+	-	+	+	+	+	+	7.62
11	+	+	-	+	-	+	-	+	-	+	-	+	-	-	+	-	+	+	+	+	+	5.10
12	+	-	-	+	-	+	+	-	+	-	-	+	-	-	+	-	+	+	+	+	+	6.93
13	+	+	+	-	-	+	+	-	-	+	-	-	+	+	-	-	+	+	+	+	+	5.35
14	+	-	+	-	-	+	-	+	+	-	-	-	+	+	-	-	+	+	+	+	+	7.51
15	+	+	-	-	-	+	-	-	-	+	+	+	-	+	-	-	+	+	+	+	+	5.00
16	+	-	-	-	-	+	+	+	+	-	+	+	-	+	-	-	+	+	+	+	+	6.67
17	+	+	+	+	+	-	+	+	+	-	+	+	-	+	-	-	+	+	+	+	+	5.38
18	+	-	+	+	+	-	-	-	-	+	+	+	-	+	-	-	+	+	+	+	+	7.62
19	+	+	-	+	+	-	-	+	+	-	-	-	+	+	-	-	+	+	+	+	+	5.11
20	+	-	-	+	+	-	+	-	-	+	-	-	+	+	-	-	+	+	+	+	+	6.92
21	+	+	+	-	+	-	+	-	+	-	-	+	-	-	+	-	+	+	+	+	+	5.34
22	+	-	+	-	+	-	-	+	-	+	-	+	-	-	+	-	+	+	+	+	+	7.51
23	+	+	-	-	+	-	-	-	+	-	+	-	+	-	+	-	+	+	+	+	+	4.99
24	+	-	-	-	+	-	+	+	-	+	+	-	+	-	+	-	+	+	+	+	+	6.66
25	+	+	+	+	-	-	+	+	-	-	+	-	-	-	-	+	+	+	+	+	+	5.43
26	+	-	+	+	-	-	-	-	+	+	+	-	-	-	-	+	+	+	+	+	+	7.67
27	+	+	-	+	-	-	-	+	-	-	-	+	+	-	-	+	+	+	+	+	+	5.12
28	+	-	-	+	-	-	+	-	+	+	-	+	+	-	-	+	+	+	+	+	+	6.93
29	+	+	+	-	-	-	+	-	-	-	-	-	-	+	+	+	+	+	+	+	+	5.38
30	+	-	+	-	-	-	-	+	+	+	-	-	-	+	+	+	+	+	+	+	+	7.55
Продолжение таблицы 4.2 – Расширенная план – матрица плана типа Bk
31	+	+	-	-	-	-	-	-	-	-	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	5.01
32	+	-	-	-	-	-	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	6.70
33	+	-1.596	0.000	0.000	0.000	0.000	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	2.547	0.000	0.000	0.000	0.000	7.65
34	+	1.596	0.000	0.000	0.000	0.000	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	2.547	0.000	0.000	0.000	0.000	4.88
35	+	0.000	-1.596	0.000	0.000	0.000	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0.000	2.547	0.000	0.000	0.000	5.41
36	+	0.000	1.596	0.000	0.000	0.000	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0.000	2.547	0.000	0.000	0.000	6.35
37	+	0.000	0.000	-1.596	0.000	0.000	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0.000	0.000	2.547	0.000	0.000	6.13
38	+	0.000	0.000	1.596	0.000	0.000	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0.000	0.000	2.547	0.000	0.000	6.27
39	+	0.000	0.000	0.000	-1.596	0.000	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0.000	0.000	0.000	2.547	0.000	6.33
40	+	0.000	0.000	0.000	1.596	0.000	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0.000	0.000	0.000	2.547	0.000	6.21
41	+	0.000	0.000	0.000	0.000	-1.596	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0.000	0.000	0.000	0.000	2.547	6.22
42	+	0.000	0.000	0.000	0.000	1.596	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0.000	0.000	0.000	0.000	2.547	6.21

4.5 Полученная регрессионная модель

По результатам эксперимента согласно формулам, приведенным выше была построена модель второго порядка, описывающая зависимость влияния факторов модели (Х₁-Х₅) на максимальную скорость движения ползуна (Y). Так как параллельные опыты не проводились, то опыты на воспроизводимость не проверялись, по этому было проведено несколько опытов в центре плана. По результатам этих опытов была посчитана дисперсия опытов. Дисперсия опытов рассчитывалась по формуле [43];