Исследование функции (стр. 2 из 2)
b:=3;
intvalue:=0.0;
h:=(b-a)/n;
for i:=0 to n-1 do
begin
xi:=a+h*i;
intvalue:=intvalue+f1(xi);
end;
intvalue:=intvalue*h;
writeln('znachenie integrala ravno ',intvalue:6:2);
end.
Согласно заданию, необходимо было для заданной функции
найти значение определенного интеграла.Таблица 2.2
| Переменные | Описание | Даны |
| a, b | Пределы функции | По условию а=0, b=1 |
| n | Количество подинтервалов | Вводится пользователем |
| i | Узлы интегрирования | Счетчик от 0 до n-1 |
| intvalue | Значение интеграла | Вычисляется по формуле интеграла |
| h | Шаг интегрирования | Вычисляется по формуле H=(b-a)/N |
| xi | Значение переменной Х в i-том узле | Вычисляется  |
| F2 | Значение функции f2 | По условию  |
Текст программы:
program v14_2;
var n,i:integer;
a,b,intvalue,h,xi:real;
function f2(xi:real):real;
begin
if xi<>0 then f2:=arctan((1-sqr(xi))/sqr(xi));
end;
begin
write('Zadayte kol-vo intervalov ');
readln(n);
a:=0;
b:=1;
intvalue:=0.0;
h:=(b-a)/n;
{metod trapeciy}
for i:=1 to n-1 do
begin
xi:=a+h*i;
intvalue:=intvalue+f2(xi);
end;
intvalue:=intvalue+(f2(a)+f2(b))/2.0;
intvalue:=intvalue*h;
writeln('znachenie integrala ravno ',intvalue);
end.
3. Вычислительные эксперименты
1. Проектирование эксперимента и результаты
1.1. Условия эксперимента
Провести вычислительный эксперимент. Отрезок интегрирования разбивается на N интервалов, где N = 6, 10, 50, 100, 500, 1000. для полученного в каждом случае результата определить относительную погрешность вычисления ε.
Для определения относительной погрешности расчетов необходимо воспользоваться формулой:
Где а0 – точный результат, полученный либо на основании известной теоретической зависимости, использовании таблиц, более точном расчете и т.д.
А – результат, полученный на данном этапе расчетов.
Затем строить зависимость относительной погрешности от количества интервалов разбиения.
Для первой функции
найти значение определенного интеграла.Для второй функции
, также найти значение определенного интеграла.1.2. Описание ожидаемых результатов
Предполагается, что чем больше интервалов будет, тем точнее получится результат вычисления определенного интеграла.
Таблица 3.1.1
| N | ε (f1) | ε(F2) |
| 6 |  =0.057 |  =0,14 |
| 10 |  =0.035 |  =0,08 |
| 50 |  =0.007 |  =0,02 |
| 100 |  =0.003 |  =0,01 |
| 500 |  =0.00 |  =0,00 |
| 1000 | =0.00 |  =0,00 |
2.1. Полученные результаты
Для функции f1 выведем результаты:
Таблица 3.2.1
| Количество интервалов (n) | Результат (intvalue) | Погрешность (ε) |
| 6 | 6,76 | 7,17-6,76=0,41 |
| 10 | 6,92 | 0,25 |
| 50 | 7,12 | 0,05 |
| 100 | 7,15 | 0,02 |
| 500 | 7,17 | 0,00 |
| 1000 | 7,17 | 0,00 |
Для функции f2 выведем результаты:
Таблица 3.2.2
| Количество интервалов (n) | Результат (intvalue) | Погрешность (ε) |
| 6 | 0,92 | 1,06-0,92=0,14 |
| 10 | 0,98 | 0,08 |
| 50 | 1,04 | 0,02 |
| 100 | 1,05 | 0,01 |
| 500 | 1,06 | 0,00 |
| 1000 | 1,06 | 0,00 |
Составим график зависимости величины погрешности от количества взятых интервалов для f1:
Рис. 3.2.1. График зависимости ε от количества интервалов разбиения N для f1
Составим график зависимости величины погрешности от количества взятых интервалов для f2:
Рис. 3.2.2. График зависимости ε от количества интервалов разбиения N для f2
3. Сформулированные заключения
Сравним погрешности, вычисленные аналитическим и программным для f1 способом левых прямоугольников:
Таблица 3.3.1
| аналитически | Программно |
| 0,057 | 0,41 |
| 0,035 | 0,25 |
| 0,007 | 0,05 |
| 0,003 | 0,02 |
| 0,00 | 0,00 |
| 0,00 | 0,00 |
Сравним погрешности, вычисленные аналитическим и программным для f2 способом левых прямоугольников:
Таблица 3.3.2
| аналитически | Программно |
| 0,14 | 0,14 |
| 0,08 | 0,08 |
| 0,02 | 0,02 |
| 0,01 | 0,01 |
| 0,00 | 0,00 |
| 0,00 | 0,00 |
Расхождения имеются. Однако и аналитический и программный способ показали, что чем большее количество интервалов задается, тем точнее результат вычисления интеграла.
В ходе курсовой работы я освоил основы алгоритмизации технических задач, а также научился решать их с использованием средств современной вычислительной техники. Проанализировав полученные результаты, научился делать выводы.
В ходе курсовой работы мною был рассмотрен алгоритм вычислительной математики – вычисление определенного интеграла. Для реализации данной задачи, состоящей из двух функций, для первой функции я воспользовался методам левых прямоугольников, а для второй функции – методом трапеций. Также, мною были рассчитаны погрешности вычислений, что помогает определить точность вычислений. Курсовая работа включает в себя анализ зависимости величины погрешности от количества взятых интервалов на отрезке, все вычисления подробно расписаны, представлены формулы вычислений, таблицы, графики.
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ
- М.Ю. Кривошеин. Программирование численных методов (Методические рекомендации к курсовому проектированию), Улан-Удэ, 2009г.
- А.Г.Трифонов. "Постановка задачи оптимизации и численные методы ее решения", Москва, 2008г.
- Н. Бахвалов, И. Жидков, Г. Кобельков Численные методы. ФизМатЛит. 2002.
- Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы. М.: Наука, 1989.
- Банди Б. Методы оптимизации: Вводный курс. М.: Радио и связь, 1988