Управление сложными системами (стр. 11 из 14)
 | — интеграл Дюамеля.— определяет реакцию системы по элементарному воздействию (известной импульсной функции.) |
5.4 Дискретная передаточная функция
5.4.1 Дискретная передаточная функция импульсного одномерного фильтра
Пусть известна импульсная переходная функция приведённой непрерывной части КП(t), то есть реакцию на единичную импульсную решетчатую функцию.
Определим реакцию импульсного фильтра на дискретную последовательность (решетчатую функцию):
U[mT], m=0, 1, …, i — на входе. x(t) — ?
| Дискрета | Реакция | ||
| U[0T]U[1T]…U[mT] | U[0T]КП(t)U[T]КП(t-T)…U[mT]КП(t-mT) |  | элементарные реакции |
Непрерывная часть сглаживает импульсы, но мы хотим выделить дискреты:
t=iT
Применим Z-преобразование:
, тогда с учётом теоремы свёртки получим: X(z)=WП(z)U(z); U(z)=Z{U[i]}. 
≜ 
— ДПФ импульсного фильтра.По аналогии с непрерывными системами:
(отношение Z-преобразования сигнала на выходе фильтра к Z-преобразованию входного сигнала при нулевых обратных условиях).Так как
, то на практике очень удобна следующая формальная запись: 
!!!то есть ДПФ равна Z-преобразованию такой функции оригинала, преобразование Лапласа которой равно W(s).
Пример № 1:
5.4.2 Дискретная передаточная функция импульсной системы с экстраполятором нулевого порядка
Структура системы приведена на Рисунке № !.
Можно показать, что ДПФ такой системы в разомкнутом состоянии (когда убираем главную обратную связь) определяется по следующей формуле:
!!!!
W(s) — передаточная функция непрерывной части системы.
Пример № 2.
Определить ДПФ микропроцессорной (импульсной) системы (Рисунок № !), непрерывная часть которой следующая:
Решение:
1)
2)
— раскладываем на простые дроби.3)
5.4.3 Дискретная передаточная функция многомерной системы
Задачу определения ДПФ для многомерного случая удобно решать Методом Пространств Состояний:
Рассмотрим алгоритм решения этой задачи для простейшего одномерного случая:
(смотри связь между ПФ и дифференциальным уравнением)Известно, что решение этого дифференциального уравнения первого порядка: x(t0)=x0
При U(t)=U[iT], iT ≤ t <(i+1)T интегрируя в пределах (iT, t):
.t=(i+1)T
.Применяя к этому выражению Z-преобразование с начальными нулевыми условиями, с учётом теоремы сдвига и свойств линейности:
ММ многомерной системы приведена выше (смотри систему уравнений (III)). Применяя к этой системе Z-преобразование с нулевыми начальными условиями, с учётом свойств линейности получим:
(III*)Эта ММ позволяет определить матричную дискретную передаточную функцию
, элементы которой рассчитываются по следующим формулам: 
(1)Здесь
(2)Определитель
можно получить из определителя (2) путём замены q-столбца следующим столбцом: 
5.4.3.1 Пример № 3
По системе линейных разностных уравнений, полученных в примере (III′), определить дискретные передаточные функции от управления y к координатам x1 и x2.
Лекция №11. 18.03.2003
Решение:
1)
2) 
3)
4)
5)
5.4.3.2 Численный расчёт дискретных передаточных функций многомерных систем
Если известно уравнение состояния
то можно получить уравнение состояния многомерной импульсной системы 
. При этом матрицы G, H΄, H определяются численно в виде рядов с использованием матриц А и В по приведённым выше формулам.Реализация алгоритмов определения элементов
требует операции раскрытия определителей (смотри Пример № 3). Эту задачу можно решить или классически (по известным методам), или численно. При высоком порядке системы более эффективны численные методы Фадеева, Крылова, Леверрье.Рассмотрим метод Фадеева:
Во-первых, определитель системы det(z) (2) является характеристическим многочленом матрицы G, следовательно:
Необходимо найти коэффициенты этого полинома:
.Алгоритм расчёта коэффициентов по Фадееву:
1 этап:1 шаг:  2 шаг:  3 шаг:  | 2 этап:1 шаг:  2 шаг:  3 шаг:  |
Предпоследний этап:1 шаг:  2 шаг:  3 шаг:  | Последний этап:1 шаг:  2 шаг:  3 шаг:  (Контроль) |
Пример № 4.