Управление сложными системами (стр. 5 из 14)
.Пренебрегая членами ряда порядка выше первого (из-за их малости), с учётом частного случая (в установившемся состоянии после переходного режима при
, 
) после преобразований в операторной форме это уравнение ( 
) можно записать в следующем виде: 
Здесь
, а DO, MO, NO —полиномы от оператора р такие, что: 
; 
; 
, где: 
; 
; 
.Аналогично могут быть получены линеаризованные уравнения регулятора и устройства сравнения:
Исключая из системы уравнений
, 
, 
переменные 
, 
и опуская индекс вариации Δ, линеаризованная математическая модель системы примет вид: 
(II΄)где:
; 
; 
,где a0 – an, b0 – bn, c0 – cn однозначно определяются коэффициентами α, β и γ системы.
Тот же вид, но в развёрнутой форме:
(II)4.1.2 Математические модели систем управления в комплексной области
4.1.2.1 Преобразование Фурье
Абсолютно интегрируемые непрерывные функции f(t), т.е. функции, удовлетворяющие условию
(1), можно представить в виде интеграла Фурье: 
(2) 
(3)Это преобразование Фурье или комплексный спектр функции оригинала f(t).
Существуют функции, для которых не выполняется неравенство (1), например: [1(t)], e-αt, eαt, sinαt при α>0, tn при n=1, 2, 3, … и др. Для них используют преобразование Лапласа, являющееся обобщением преобразования Фурье.
4.1.2.2 Преобразование Лапласа непрерывных функций
Рассмотрим f1(t)=f(t)e-ct, c=const такая, что:
(4)При этом для существования этого интеграла от функции f(t) пришлось потребовать выполнения условия f(t)=0 
t<0.
c>c0 (c0 — абсцисса абсолютной сходимости).
Для [1(t)] с0=0
Для e-αtс0=α
Для eαtс0=-α
Дляsinαt с0=0
Тогда получим
(5)Это интеграл Лапласа или формула обращения в преобразовании Лапласа.
(6)f(t) 
F(s)
4.1.2.3 Нули и полюсы изображения F(s)
F(s) — дробно рациональная функция.
Корни полиномов R(s) и Q(s) определяют свойства изображения или свойства этой функции.
4.1.2.3.1 Нули изображения F(s)
Представим F(s) в следующем виде:
, а 
, значит F(s) имеет ноль кратности m в точке 
.4.1.2.3.2 Полюса изображения F(s)
Полюса изображения F(s) — это корни полинома знаменателя Q(s).
, где 
,а
, т.е. изображение F(s) содержит полюс кратности n при 
.На комплексной плоскости s нули обозначают “0”, а полюса “Х”.
4.1.2.4 Дискретное преобразование Лапласа
Данное преобразование применяется для решетчатых функций.
(7) 
(7΄)4.1.2.5 Z-преобразование
Введём новую комплексную переменную z=est, тогда (7) можно представить в следующем виде:
≜ 
(8)!!!!s=c+j∞
Выбрав c>c0 ряд (8) будет сходиться, и решетчатой функции будет соответствовать Z-преобразование. f[i] 
F(z).
Z-преобразование применяют и к непрерывным функциям. При этом, если для РФ f[i] прямая и обратная задачи однозначны, то для непрерывной функции задача определения оригинала f[i] по его изображению не однозначна.
4.1.2.6 Основные свойства преобразования Лапласа и Z-преобразования
| Свойства преобразования Лапласа | Свойства Z-преобразования |
| 1. Свойство линейности:   | 1. Свойство линейности:   |
| 2. Теорема о конечном значении: Если функция s∙F(s) является аналитической в правой полуплоскости и на мнимой оси, то  | 2. Теорема о конечном значении:  |
| 3. Теорема о начальном значении: Если  , то  | 3. Теорема о начальном значении:  |
| 4. Теорема сдвига в области вещественной переменной:  t-τ — запаздывание (по оси вправо). t+τ — упреждение (по оси влево). | 4. Теорема сдвига в области вещественной переменной:  , где k — целое число, кратное периоду дискретности. |
| 5. Свойство дифференцирования: Если начальные условия нулевые, то  | |
| 6. Свойство интегрирования: при нулевых начальных условиях  | |
| 7. Теорема свёртки:   |
Лекция №7. 04.03.2003