Управление сложными системами (стр. 9 из 14)
… (1)Здесь Xi — любая линейная или нелинейная функция, а xi — обобщённая фазовая координата или переменная состояния системы n-мерного порядка (фазовые координаты).
В n-мерном фазовом пространстве (пространстве состояний) в фиксированный момент времени xi определяют состояние системы в виде точки с соответствующими координатами, например, при n=3:
 | M(x) — изображающая точка.В переходном режиме изображающая точка описывает некоторую траекторию, которую назовём фазовой. |
Проекции вектора скорости изображающей точки на оси — левые части уравнений (1), следовательно, о поведении системы в переходном режиме можно судить по правым частям уравнений (1).
Так, например, если n=2, имеем фазовую плоскость:
Исключая из этой системы время t, получим:
Интегрируя это уравнение, получим семейство фазовых траекторий (фазовый портрет) системы, каждая из которых соответствует определённому значению постоянной интегрирования.
Фазовый портрет полностью определяет основные свойства свободного движения системы.
 | Пусть в начальный момент времени изображающая точка M(xi0) при t=0 начала двигаться по некоторой невозмущённой фазовой траектории  и пусть в тот же самый начальный момент времени на неё подействовал мгновенный кратковременный импульс, который сместил эту точку в положение  . В результате точка M будет двигаться по возмущённой траектории  . |
Таким образом, движение системы устойчиво, если при сдвиге начального положения изображающей точки на величину не более малой положительной величины
(*) возмущённое движение в последующие моменты времени будет отличаться от невозмущённого на величину не более сколь угодно малой величины 
(**).В противном случае движение системы не устойчиво.
Если при этом выполняется условие
(***), то движение асимптотически устойчиво. Следовательно, по Ляпунову оценивается устойчивость системы при достаточно малых начальных отклонениях. Линейная стационарная система, устойчивая “в малом”, будет устойчива и “в большом”.7.2 Необходимые и достаточные условия устойчивости линейных стационарных систем
Пусть известна математическая модель системы, описывающая свободное движение системы в виде однородного дифференциального уравнения:
(1)или разностного уравнения
(1΄)и пусть x — это отклонение интересующей нас переменной от её значения в равновесном режиме. Тогда система будет устойчива, если выполняется условие
(2)или
(2΄)При каких условиях выполняется равенство (2)?
Уравнениям (1) и (1΄) соответствуют характеристические уравнения:
… (3) 
… (3΄)Если корни si уравнения (3) различны, то решение уравнения (1) может быть записано следующим образом
.В общем случае корни являются комплексными si=αi+jβi.
1) Если αk>0 A→∞ 
система не устойчива.
2) Если αk<0 A→0 система устойчива.
3) Если αk=0 A=ck=const система нейтрально устойчива.
Следовательно, для устойчивости линейной непрерывной стационарной системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения имели отрицательные вещественные части, то есть располагались в левой полуплоскости плоскости S.
Можно показать, что для устойчивости дискретной линейной стационарной системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения (3΄) zi были: |zi|<1 … (!!)
Лекция №8. 05.03.2003
4.1.3.1.1 Решение уравнения состояния
(5)Пусть при t=t0X(t0)=X0 (начальные условия). Из теории дифференциальных уравнений известно, что решение уравнения (5) при известных начальных условиях может быть получено в следующем виде:
(6)где M(t) — фундаментальная или переходная матрица.
Решение уравнения (5) можно записать и в виде ряда Тейлора:
(7)Производные в формуле (7) можно определить из уравнения (5):
т.е.
(8)Здесь
(9)еAt — МАТРИЦИАНТ.
Можно сказать, что решение неоднородного уравнения состояния
имеет вид: 
(10)4.1.3.2 Дискретные математические модели многомерной системы
Рассмотрим многомерный импульсный фильтр:
1 — непрерывная часть системы;
4 — формирователи.
В случае экстраполятора нулевого порядка (Э0П) управляющие сигналы yp(t), действующие на непрерывную часть системы, будут кусочно-постоянными, т.е. yp(t)= yp[iT], iT ≤ t ≤ (i+1)T в скалярной форме или Y(t)=Y[iT] при iT ≤ t ≤ (i+1)Tв векторной.
Рассмотрим уравнение (10) при следующих условиях:
1) t0=iT — начальные условия.
2) (iT, t) — интервал интегрирования.
В частности, при t=(i+1)T:
Таким образом:
(11)Это уравнение состояния многомерной дискретной системы.
Здесь:
(12)еAT — МАТРИЦИАНТ.
(13) 
(14)В развёрнутой форме уравнение состояния примет вид:
(III)Пример 4.
Определить уравнение состояния многомерной импульсной системы с Э0П. Математическая модель непрерывной части известна:
1. Составим уравнение состояния непрерывной части системы:
, 
, тогда 
