Информатика Базовый курс (стр. 151 из 188)

К такого рода задачам относятся, например, следующие:

• подготовка научно-технических документов, содержащих текст и формулы,записанные в привычной для специалистов форме;

• вычисление результатов математических операций, в которых участвуют чис-ловые константы, переменные и размерные физические величины;

• операции с векторами и матрицами;

• решение уравнений и систем уравнений (неравенств);

• статистические расчеты и анализ данных;

• построение двумерных и трехмерных графиков;

• тождественные преобразования выражений (в том числе упрощение), анали-тическое решение уравнений и систем;

• дифференцирование и интегрирование, аналитическое и численное;

• решение дифференциальных уравнений;

• проведение серий расчетов с разными значениями начальных условий и дру-гих параметров.

К универсальным программам, пригодным для решения таких задач, относится, например, программа Mathcad. Это автоматизированная система, позволяющая динамически обрабатывать данные в числовом и аналитическом (формульном) виде. Программа Mathcadсочетает в себе возможности проведения расчетов и подготовки форматированных научных и технических документов.

51 0 Глава 18. Средства автоматизации научно-исследовательских работ

Научно-технические документы обычно содержат формулы, результаты расчетов в виде таблиц данных или графиков, текстовые комментарии или описания, другие иллюстрации. В программе Mathcad ям соответствуют два вида объектов: формулы и текстовые блоки. Формулы вычисляются с использованием числовых констант, переменных, функций (стандартных и определенных пользователем), а также общепринятых обозначений математических операций. Введенные в документ Mathcad формулы автоматически приводятся к стандартной научно-технической форме

записи. Графики, которые автоматически строятся на основе результатов расчетов, также рассматриваются как формулы. Комментарии, описания и иллюстрации размещаются в текстовых блоках, которые игнорируются при проведении расчетов.

Чтобы буквенные обозначения можно было использовать при расчетах по форму-

^; Мм, этим обозначениям должны быть сопоставлены числовые значения. В программе Mathcad буквенные обозначения рассматриваются как переменные, и их значения задаются при помощи оператора присваивания (вводится символом «>). Таким же образом можно задать числовые последовательности, аналитически определенные функции, матрицы и векторы.

Если все значения переменных известны, то для вычисления числового значения выражения (скалярного, векторного или матричного) надо подставить все числовые значения и произвести все заданные действия. В программе Mathcad для этого применяют оператор вычисления (вводится символом «=»). В ходе вычисления автоматически используются значения переменных и определения функций, заданные в документе ранее. Удобно задать значения известных параметров, провести вычисления с использованием аналитических формул, результат присвоить некоторой переменной, а затем использовать оператор вычисления для вывода значения этой переменной. Например:

g:=9.8 М:=3

••f •-.... . =.- . • . ^ ,

Изменение значения любой переменной, коррекция любой формулы означает, что все расчеты, зависящие от этой величины, необходимо проделать заново. Такая

' Тйёобходимость возникает при выборе подходящих значений параметров или условий, поиске оптимального варианта, исследовании зависимости результата от начальных условий. Электронный документ, подготовленный в программе MathCad, готов к подобной ситуации. При изменении какой-либо формулы программа автоматически производит необходимые вычисления, обновляя изменившиеся значения и графики. Например, если документ содержит формулы х := 4; \!х"= 2, то, изменив значение переменной х, мы сразу же увидим, что изменился и результат расчета: х := 9; 4х = 3.

При проведении расчетов с использованием реальных физических величин учитывают их размерность. Чтобы расчет был корректен, все данные должны быть приведены в одну систему единиц — в этом случае результат расчетов получится в этрй же системе. Здесь скрывается характерный источник ошибок при расчетах вручную. В программе Mathcad единицы измерения (в любой системе) присоеди-

18.1. Компьютер как инструмент научной работы 511

няют к значению величины с помощью знака умножения. Данные автоматически преобразуются в одну и ту же систему единиц (по умолчанию СИ) и обрабатываются в этом виде. Размерный результат выдается вместе с полученной единицей измерения. Например:

v:=lOO-kph t:=0.5-yr (kph — километры в час, уг — годы) s := v-t s = 4.383-10⁸ m (результат получен в метрах)

При работе с матрицами приходится применять такие операций, как сложение матриц, умножение, транспонирование. Часто возникает необходимость в обращении матриц и в декомпозиции (разложении в произведение матриц специального вида). Для квадратных матриц представляет интерес поиск собственных значений и собственных векторов. Программа Mathcad позволяет выполнить все эти Quepaции с помощью стандартных обозначений математических операторов (сложение, умножение) или встроенных функций. Например:

Уравнения и системы уравнений, возникающие в практических задачах, обычно можно решить только численно. Методы численного решения реализованы и в программе Mathcad. Блок уравнений и неравенств, требующих решения, записывается после ключевого слова given (дано). При записи уравнений используется знак логического равенства (комбинация клавиш CTRL+=). Значения переменных, удовлетворяющие системе уравнений и неравенств, находятся с помощью стандартной функции find.

х:=1у:=0

При обработке результатов экспериментов часто встречаются задачи статистического анализа серий данных. Для такого рода задач программа Mathcad предрстав-

Глава 18. Средства автоматизации научно-исследовательских работ

ляет средства интерполяции данных, предсказания дальнейшего поведения функции, а также построения функций заданного вида, наилучшим образом соответствующих имеющемуся набору данных. При статистическом анализе можно также использовать стандартные функции распределения вероятности и генераторы случайных величин с заданным распределением.

При аналитических вычислениях результат получают в нечисловой форме в результате тождественных преобразований выраже-

ний. Простейшие преобразования — это Рис. 18.1. Набор точек аппроксимирован раскрытие скобок, приведение подобных ^{с помощью многочленов первого и} членов, применение тригонометрических ^{второго порядка} тождеств.

Например, выражение cos (3-atan(x)) преобразуется в

Проверку тождественности этого преобразования выполните самостоятельно.

Более сложные преобразования позволяют находить аналитические решения некоторых уравнений и систем. Для такого рода вычислений в программе Mathcad используют оператор аналитического вычисления (клавиатурная комбинация CTRL+.), а также команды меню Symbolics (Аналитические вычисления). Переменные при аналитических вычислениях рассматриваются как неопределенные параметры. Результат можно использовать для анализа решения при различных значениях этих переменных. При аналитическом решении уравнений и систем за одну операцию можно найти все существующие решения. Например:

given z³ + 3-2² + 2-2 - 6=0

Дифференцирование и интегрирование заданных функций вручную — обычно несложная, но трудоемкая операция. В программе Mathcad для вычисления производной, а также неопределенных и определенных интегралов могут использоваться символические вычисления с помощью меню Symbolics • Variable (Аналитические вычисления • Переменная). Если функция не задана аналитически или не позволяет получить первообразную в виде формулы, имеется возможность численного дифференцирования и численного расчета определенных интегралов. Например, при вычислении интеграла